Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  spthdep Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spthdep 40935
Description: A simple path (at least of length 1) has different start and end points (in an undirected graph). (Contributed by AV, 31-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
spthdep ((𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃 ∧ (#‘𝐹) ≠ 0) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)))

Proof of Theorem spthdep
Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 spthsfval 40923 . . . 4 (𝐺 ∈ V → (SPathS‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(TrailS‘𝐺)𝑝 ∧ Fun 𝑝)})
21brfvopab 6576 . . 3 (𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
3 issPth 40925 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃)))
4 trlis1wlk 40900 . . . . . . . . . 10 (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
5 eqid 2609 . . . . . . . . . . 11 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
651wlkp 40816 . . . . . . . . . 10 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
74, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
87anim1i 589 . . . . . . . 8 ((𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun 𝑃))
9 df-f1 5795 . . . . . . . 8 (𝑃:(0...(#‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ↔ (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun 𝑃))
108, 9sylibr 222 . . . . . . 7 ((𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → 𝑃:(0...(#‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺))
11 1wlkcl 40815 . . . . . . . . 9 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
12 nn0fz0 12261 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ↔ (#‘𝐹) ∈ (0...(#‘𝐹)))
1312biimpi 204 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ (0...(#‘𝐹)))
14 0elfz 12260 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...(#‘𝐹)))
1513, 14jca 552 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(#‘𝐹))))
164, 11, 153syl 18 . . . . . . . 8 (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 → ((#‘𝐹) ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(#‘𝐹))))
1716adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → ((#‘𝐹) ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(#‘𝐹))))
1810, 17jca 552 . . . . . 6 ((𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝐹) ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(#‘𝐹)))))
19 eqcom 2616 . . . . . . 7 ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) ↔ (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘0))
20 f1veqaeq 6396 . . . . . . 7 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝐹) ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(#‘𝐹)))) → ((𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘0) → (#‘𝐹) = 0))
2119, 20syl5bi 230 . . . . . 6 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝐹) ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(#‘𝐹)))) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → (#‘𝐹) = 0))
2218, 21syl 17 . . . . 5 ((𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → (#‘𝐹) = 0))
2322necon3d 2802 . . . 4 ((𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → ((#‘𝐹) ≠ 0 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))))
243, 23syl6bi 241 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃 → ((#‘𝐹) ≠ 0 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)))))
252, 24mpcom 37 . 2 (𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃 → ((#‘𝐹) ≠ 0 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))))
2625imp 443 1 ((𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃 ∧ (#‘𝐹) ≠ 0) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  Vcvv 3172   class class class wbr 4577  ccnv 5027  Fun wfun 5784  wf 5786  1-1wf1 5787  cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9792  0cn0 11139  ...cfz 12152  #chash 12934  Vtxcvtx 40224  1Walksc1wlks 40791  TrailSctrls 40894  SPathScspths 40915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-ifp 1006  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-hash 12935  df-word 13100  df-1wlks 40795  df-trls 40896  df-spths 40919
This theorem is referenced by:  cyclnsPth  41001
  Copyright terms: Public domain W3C validator