Theorem spthispth 26678

Description: A simple path is a path (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
spthispth	⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem spthispth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 472	. . 3 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
2		funres11 6004	. . . 4 ⊢ (Fun ◡𝑃 → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))))
3	2	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))))
4		1e0p1 11590	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0 + 1)
5	4	oveq1i 6700	. . . . . . . . 9 ⊢ (1..^(#‘𝐹)) = ((0 + 1)..^(#‘𝐹))
6	5	ineq2i 3844	. . . . . . . 8 ⊢ ({0, (#‘𝐹)} ∩ (1..^(#‘𝐹))) = ({0, (#‘𝐹)} ∩ ((0 + 1)..^(#‘𝐹)))
7		0z 11426	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
8		prinfzo0 12546	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℤ → ({0, (#‘𝐹)} ∩ ((0 + 1)..^(#‘𝐹))) = ∅)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({0, (#‘𝐹)} ∩ ((0 + 1)..^(#‘𝐹))) = ∅
10	6, 9	eqtri 2673	. . . . . . 7 ⊢ ({0, (#‘𝐹)} ∩ (1..^(#‘𝐹))) = ∅
11	10	imaeq2i 5499	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 “ ({0, (#‘𝐹)} ∩ (1..^(#‘𝐹)))) = (𝑃 “ ∅)
12		ima0 5516	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 “ ∅) = ∅
13	11, 12	eqtri 2673	. . . . 5 ⊢ (𝑃 “ ({0, (#‘𝐹)} ∩ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅
14		imain 6012	. . . . 5 ⊢ (Fun ◡𝑃 → (𝑃 “ ({0, (#‘𝐹)} ∩ (1..^(#‘𝐹)))) = ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))))
15	13, 14	syl5reqr 2700	. . . 4 ⊢ (Fun ◡𝑃 → ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)
16	15	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)
17	1, 3, 16	3jca 1261	. 2 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅))
18		isspth 26676	. 2 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
19		ispth 26675	. 2 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅))
20	17, 18, 19	3imtr4i 281	1 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ∩ cin 3606  ∅c0 3948  {cpr 4212   class class class wbr 4685  ^◡ccnv 5142   ↾ cres 5145   “ cima 5146  Fun wfun 5920  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  ℤcz 11415  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Trailsctrls 26643  Pathscpths 26664  SPathscspths 26665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1033  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-wlks 26551  df-trls 26645  df-pths 26668  df-spths 26669

This theorem is referenced by:  spthiswlk  26680  spthson  26693  spthonprop  26697  isspthonpth  26701  spthonpthon  26703  usgr2trlspth  26713  usgr2pthspth  26714  wspthsnonn0vne  26882