Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sq01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sq01 12981
 Description: If a complex number equals its square, it must be 0 or 1. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)
Assertion
Ref Expression
sq01 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) = 𝐴 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))

Proof of Theorem sq01
StepHypRef Expression
1 df-ne 2794 . . . . 5 (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
2 sqval 12917 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
3 mulid1 10034 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
43eqcomd 2627 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = (𝐴 · 1))
52, 4eqeq12d 2636 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) = 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐴) = (𝐴 · 1)))
65adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑2) = 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐴) = (𝐴 · 1)))
7 ax-1cn 9991 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
8 mulcan 10661 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐴) = (𝐴 · 1) ↔ 𝐴 = 1))
97, 8mp3an2 1411 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐴) = (𝐴 · 1) ↔ 𝐴 = 1))
109anabss5 857 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐴) = (𝐴 · 1) ↔ 𝐴 = 1))
116, 10bitrd 268 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑2) = 𝐴𝐴 = 1))
1211biimpd 219 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑2) = 𝐴𝐴 = 1))
1312impancom 456 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 ≠ 0 → 𝐴 = 1))
141, 13syl5bir 233 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (¬ 𝐴 = 0 → 𝐴 = 1))
1514orrd 393 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1))
1615ex 450 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) = 𝐴 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))
17 sq0 12950 . . . 4 (0↑2) = 0
18 oveq1 6654 . . . 4 (𝐴 = 0 → (𝐴↑2) = (0↑2))
19 id 22 . . . 4 (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0)
2017, 18, 193eqtr4a 2681 . . 3 (𝐴 = 0 → (𝐴↑2) = 𝐴)
21 sq1 12953 . . . 4 (1↑2) = 1
22 oveq1 6654 . . . 4 (𝐴 = 1 → (𝐴↑2) = (1↑2))
23 id 22 . . . 4 (𝐴 = 1 → 𝐴 = 1)
2421, 22, 233eqtr4a 2681 . . 3 (𝐴 = 1 → (𝐴↑2) = 𝐴)
2520, 24jaoi 394 . 2 ((𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1) → (𝐴↑2) = 𝐴)
2616, 25impbid1 215 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) = 𝐴 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1482   ∈ wcel 1989   ≠ wne 2793  (class class class)co 6647  ℂcc 9931  0cc0 9933  1c1 9934   · cmul 9938  2c2 11067  ↑cexp 12855 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-seq 12797  df-exp 12856 This theorem is referenced by:  cphsubrglem  22971
 Copyright terms: Public domain W3C validator