MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqcld 12823
Description: Closure of square. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
expcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
sqcld (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqcld
StepHypRef Expression
1 expcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 sqcl 12742 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976  (class class class)co 6527  cc 9790  2c2 10917  cexp 12677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-seq 12619  df-exp 12678
This theorem is referenced by:  mulsubdivbinom2  12863  muldivbinom2  12864  recval  13856  arisum2  14378  fsumcube  14576  efi4p  14652  sincossq  14691  cos2t  14693  cos2tsin  14694  sqr2irrlem  14762  pythagtriplem1  15305  pythagtriplem2  15306  pythagtriplem6  15310  pythagtriplem7  15311  pythagtriplem12  15315  pythagtriplem14  15317  4sqlem7  15432  4sqlem10  15435  4sqlem14  15446  csbren  22907  rrxmval  22913  rrxmetlem  22915  dveflem  23463  coskpi  23993  coseq1  23995  tanregt0  24006  efif1olem4  24012  tanarg  24086  lawcoslem1  24262  lawcos  24263  pythag  24264  ssscongptld  24269  chordthmlem3  24278  chordthmlem4  24279  chordthmlem5  24280  heron  24282  quad2  24283  quad  24284  dcubic1lem  24287  dcubic2  24288  dcubic1  24289  dcubic  24290  mcubic  24291  cubic2  24292  cubic  24293  binom4  24294  dquartlem1  24295  dquartlem2  24296  dquart  24297  quart1cl  24298  quart1lem  24299  quart1  24300  quartlem1  24301  quartlem2  24302  quartlem4  24304  quart  24305  asinlem3  24315  asinneg  24330  asinsin  24336  atandmcj  24353  efiatan2  24361  atandmtan  24364  cosatan  24365  cosatanne0  24366  dvatan  24379  cxp2limlem  24419  lgamgulmlem4  24475  basellem8  24531  lgsdir  24774  2sqlem4  24863  2sqlem11  24871  mulog2sumlem2  24941  mulog2sumlem3  24942  logsqvma  24948  selberglem1  24951  selberglem3  24953  selberg  24954  logdivbnd  24962  pntlemf  25011  pntlemk  25012  pntlemo  25013  ax5seglem1  25526  ax5seglem2  25527  ax5seglem6  25532  ax5seglem9  25535  axlowdimlem16  25555  axlowdimlem17  25556  4ipval2  26748  ipidsq  26753  cncph  26864  hhph  27225  eigvalcl  28010  bhmafibid2  28782  2sqn0  28783  2sqmod  28785  sin2h  32365  cos2h  32366  tan2h  32367  dvtan  32426  dvasin  32462  dvacos  32463  areacirclem1  32466  areacirclem2  32467  areacirclem4  32469  areacirc  32471  ismrer1  32603  pellexlem1  36207  pellexlem2  36208  pellexlem6  36212  pell1qrge1  36248  pell1qrgaplem  36251  rmspecsqrtnq  36284  rmspecsqrtnqOLD  36285  rmxdbl  36318  jm2.18  36369  jm2.19lem1  36370  jm2.25  36380  jm2.27c  36388  dvrecg  38597  dvmptdiv  38604  dvdivf  38609  dvdivbd  38610  itgsinexplem1  38642  itgsinexp  38643  wallispi2lem1  38761  wallispi2lem2  38762  wallispi2  38763  stirlinglem1  38764  stirlinglem3  38766  stirlinglem8  38771  stirlinglem10  38773  stirlinglem15  38778  rrxtopnfi  38979  hoiqssbllem2  39310  onetansqsecsq  42257  cotsqcscsq  42258
  Copyright terms: Public domain W3C validator