Theorem sqcld 13511

Description: Closure of square. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqcl 13487	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  2c2 11695  ↑cexp 13432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-seq 13373  df-exp 13433

This theorem is referenced by:  mulsubdivbinom2  13625  muldivbinom2  13626  recval  14684  bhmafibid1cn  14825  bhmafibid2cn  14826  bhmafibid2  14828  arisum2  15218  fsumcube  15416  efi4p  15492  sincossq  15531  cos2t  15533  cos2tsin  15534  sqrt2irrlem  15603  pythagtriplem1  16155  pythagtriplem2  16156  pythagtriplem6  16160  pythagtriplem7  16161  pythagtriplem12  16165  pythagtriplem14  16167  4sqlem7  16282  4sqlem10  16285  4sqlem14  16296  4cphipval2  23847  csbren  24004  rrxmval  24010  rrxmetlem  24012  dvrecg  24572  dvmptdiv  24573  dveflem  24578  coskpi  25110  coseq1  25112  tanregt0  25125  efif1olem4  25131  tanarg  25204  lawcoslem1  25395  lawcos  25396  pythag  25397  ssscongptld  25402  chordthmlem3  25414  chordthmlem4  25415  chordthmlem5  25416  heron  25418  quad2  25419  quad  25420  dcubic1lem  25423  dcubic2  25424  dcubic1  25425  dcubic  25426  mcubic  25427  cubic2  25428  cubic  25429  binom4  25430  dquartlem1  25431  dquartlem2  25432  dquart  25433  quart1cl  25434  quart1lem  25435  quart1  25436  quartlem1  25437  quartlem2  25438  quartlem4  25440  quart  25441  asinlem3  25451  asinneg  25466  asinsin  25472  atandmcj  25489  efiatan2  25497  atandmtan  25500  cosatan  25501  cosatanne0  25502  dvatan  25515  cxp2limlem  25555  lgamgulmlem4  25611  basellem8  25667  lgsdir  25910  2sqlem4  25999  2sqlem11  26007  2sqn0  26012  2sqmod  26014  2sqnn  26017  addsq2reu  26018  2sqreultlem  26025  2sqreunnltlem  26028  2sqreulem2  26030  mulog2sumlem2  26113  mulog2sumlem3  26114  logsqvma  26120  selberglem1  26123  selberglem3  26125  selberg  26126  logdivbnd  26134  pntlemf  26183  pntlemk  26184  pntlemo  26185  ax5seglem1  26716  ax5seglem2  26717  ax5seglem6  26722  ax5seglem9  26725  axlowdimlem16  26745  axlowdimlem17  26746  4ipval2  28487  ipidsq  28489  cncph  28598  hhph  28957  eigvalcl  29740  circlemethhgt  31916  hgt750leme  31931  sin2h  34884  cos2h  34885  tan2h  34886  dvtan  34944  dvasin  34980  dvacos  34981  areacirclem1  34984  areacirclem2  34985  areacirclem4  34987  areacirc  34989  ismrer1  35118  cu3addd  39284  3cubeslem2  39289  3cubeslem3l  39290  3cubeslem3r  39291  3cubeslem4  39293  pellexlem1  39433  pellexlem2  39434  pellexlem6  39438  pell1qrge1  39474  pell1qrgaplem  39477  rmspecsqrtnq  39510  rmxdbl  39543  jm2.18  39592  jm2.19lem1  39593  jm2.25  39603  jm2.27c  39611  dvdivf  42214  dvdivbd  42215  itgsinexplem1  42246  itgsinexp  42247  wallispi2lem1  42363  wallispi2lem2  42364  wallispi2  42365  stirlinglem1  42366  stirlinglem3  42368  stirlinglem8  42373  stirlinglem10  42375  stirlinglem15  42380  rrxtopnfi  42579  hoiqssbllem2  42912  quad1  43792  itschlc0yqe  44754  itsclc0yqsollem1  44756  itsclc0yqsol  44758  itscnhlc0xyqsol  44759  itschlc0xyqsol1  44760  itschlc0xyqsol  44761  itsclc0xyqsolr  44763  2itscplem1  44772  2itscplem3  44774  itscnhlinecirc02plem1  44776  onetansqsecsq  44867  cotsqcscsq  44868