MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqcld 13046
Description: Closure of square. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
expcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
sqcld (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqcld
StepHypRef Expression
1 expcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 sqcl 12965 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  (class class class)co 6690  cc 9972  2c2 11108  cexp 12900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-seq 12842  df-exp 12901
This theorem is referenced by:  mulsubdivbinom2  13086  muldivbinom2  13087  recval  14106  arisum2  14637  fsumcube  14835  efi4p  14911  sincossq  14950  cos2t  14952  cos2tsin  14953  sqrt2irrlem  15021  sqrt2irrlemOLD  15022  pythagtriplem1  15568  pythagtriplem2  15569  pythagtriplem6  15573  pythagtriplem7  15574  pythagtriplem12  15578  pythagtriplem14  15580  4sqlem7  15695  4sqlem10  15698  4sqlem14  15709  4cphipval2  23087  csbren  23228  rrxmval  23234  rrxmetlem  23236  dvrecg  23781  dvmptdiv  23782  dveflem  23787  coskpi  24317  coseq1  24319  tanregt0  24330  efif1olem4  24336  tanarg  24410  lawcoslem1  24590  lawcos  24591  pythag  24592  ssscongptld  24597  chordthmlem3  24606  chordthmlem4  24607  chordthmlem5  24608  heron  24610  quad2  24611  quad  24612  dcubic1lem  24615  dcubic2  24616  dcubic1  24617  dcubic  24618  mcubic  24619  cubic2  24620  cubic  24621  binom4  24622  dquartlem1  24623  dquartlem2  24624  dquart  24625  quart1cl  24626  quart1lem  24627  quart1  24628  quartlem1  24629  quartlem2  24630  quartlem4  24632  quart  24633  asinlem3  24643  asinneg  24658  asinsin  24664  atandmcj  24681  efiatan2  24689  atandmtan  24692  cosatan  24693  cosatanne0  24694  dvatan  24707  cxp2limlem  24747  lgamgulmlem4  24803  basellem8  24859  lgsdir  25102  2sqlem4  25191  2sqlem11  25199  mulog2sumlem2  25269  mulog2sumlem3  25270  logsqvma  25276  selberglem1  25279  selberglem3  25281  selberg  25282  logdivbnd  25290  pntlemf  25339  pntlemk  25340  pntlemo  25341  ax5seglem1  25853  ax5seglem2  25854  ax5seglem6  25859  ax5seglem9  25862  axlowdimlem16  25882  axlowdimlem17  25883  4ipval2  27691  ipidsq  27693  cncph  27802  hhph  28163  eigvalcl  28948  bhmafibid2  29773  2sqn0  29774  2sqmod  29776  circlemethhgt  30849  hgt750leme  30864  sin2h  33529  cos2h  33530  tan2h  33531  dvtan  33590  dvasin  33626  dvacos  33627  areacirclem1  33630  areacirclem2  33631  areacirclem4  33633  areacirc  33635  ismrer1  33767  pellexlem1  37710  pellexlem2  37711  pellexlem6  37715  pell1qrge1  37751  pell1qrgaplem  37754  rmspecsqrtnq  37787  rmspecsqrtnqOLD  37788  rmxdbl  37821  jm2.18  37872  jm2.19lem1  37873  jm2.25  37883  jm2.27c  37891  dvdivf  40455  dvdivbd  40456  itgsinexplem1  40487  itgsinexp  40488  wallispi2lem1  40606  wallispi2lem2  40607  wallispi2  40608  stirlinglem1  40609  stirlinglem3  40611  stirlinglem8  40616  stirlinglem10  40618  stirlinglem15  40623  rrxtopnfi  40824  hoiqssbllem2  41158  onetansqsecsq  42830  cotsqcscsq  42831
  Copyright terms: Public domain W3C validator