Theorem sqdivzi 31939

Description: Distribution of square over division. (Contributed by Scott Fenton, 7-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqdivzi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
sqdivzi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
sqdivzi	⊢ (𝐵 ≠ 0 → ((𝐴 / 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))

Proof of Theorem sqdivzi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6823	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ≠ 0, 𝐵, 1) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 / if(𝐵 ≠ 0, 𝐵, 1)))
2	1	oveq1d 6830	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ≠ 0, 𝐵, 1) → ((𝐴 / 𝐵)↑2) = ((𝐴 / if(𝐵 ≠ 0, 𝐵, 1))↑2))
3		oveq1 6822	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ≠ 0, 𝐵, 1) → (𝐵↑2) = (if(𝐵 ≠ 0, 𝐵, 1)↑2))
4	3	oveq2d 6831	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ≠ 0, 𝐵, 1) → ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) = ((𝐴↑2) / (if(𝐵 ≠ 0, 𝐵, 1)↑2)))
5	2, 4	eqeq12d 2776	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ≠ 0, 𝐵, 1) → (((𝐴 / 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ↔ ((𝐴 / if(𝐵 ≠ 0, 𝐵, 1))↑2) = ((𝐴↑2) / (if(𝐵 ≠ 0, 𝐵, 1)↑2))))
6		sqdivzi.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
7		sqdivzi.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
8		ax-1cn 10207	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	7, 8	keepel 4300	. . 3 ⊢ if(𝐵 ≠ 0, 𝐵, 1) ∈ ℂ
10		elimne0 10243	. . 3 ⊢ if(𝐵 ≠ 0, 𝐵, 1) ≠ 0
11	6, 9, 10	sqdivi 13163	. 2 ⊢ ((𝐴 / if(𝐵 ≠ 0, 𝐵, 1))↑2) = ((𝐴↑2) / (if(𝐵 ≠ 0, 𝐵, 1)↑2))
12	5, 11	dedth 4284	1 ⊢ (𝐵 ≠ 0 → ((𝐴 / 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2140   ≠ wne 2933  ifcif 4231  (class class class)co 6815  ℂcc 10147  0cc0 10149  1c1 10150   / cdiv 10897  2c2 11283  ↑cexp 13075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-seq 13017  df-exp 13076

This theorem is referenced by: (None)