Theorem sqdivzi 30706

Description: Distribution of square over division. (Contributed by Scott Fenton, 7-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqdivzi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
sqdivzi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
sqdivzi	⊢ (𝐵 ≠ 0 → ((𝐴 / 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))

Proof of Theorem sqdivzi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6434	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ≠ 0, 𝐵, 1) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 / if(𝐵 ≠ 0, 𝐵, 1)))
2	1	oveq1d 6441	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ≠ 0, 𝐵, 1) → ((𝐴 / 𝐵)↑2) = ((𝐴 / if(𝐵 ≠ 0, 𝐵, 1))↑2))
3		oveq1 6433	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ≠ 0, 𝐵, 1) → (𝐵↑2) = (if(𝐵 ≠ 0, 𝐵, 1)↑2))
4	3	oveq2d 6442	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ≠ 0, 𝐵, 1) → ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) = ((𝐴↑2) / (if(𝐵 ≠ 0, 𝐵, 1)↑2)))
5	2, 4	eqeq12d 2529	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ≠ 0, 𝐵, 1) → (((𝐴 / 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ↔ ((𝐴 / if(𝐵 ≠ 0, 𝐵, 1))↑2) = ((𝐴↑2) / (if(𝐵 ≠ 0, 𝐵, 1)↑2))))
6		sqdivzi.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
7		sqdivzi.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
8		ax-1cn 9749	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	7, 8	keepel 4008	. . 3 ⊢ if(𝐵 ≠ 0, 𝐵, 1) ∈ ℂ
10		elimne0 9785	. . 3 ⊢ if(𝐵 ≠ 0, 𝐵, 1) ≠ 0
11	6, 9, 10	sqdivi 12678	. 2 ⊢ ((𝐴 / if(𝐵 ≠ 0, 𝐵, 1))↑2) = ((𝐴↑2) / (if(𝐵 ≠ 0, 𝐵, 1)↑2))
12	5, 11	dedth 3992	1 ⊢ (𝐵 ≠ 0 → ((𝐴 / 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1474   ∈ wcel 1938   ≠ wne 2684  ifcif 3939  (class class class)co 6426  ℂcc 9689  0cc0 9691  1c1 9692   / cdiv 10433  2c2 10825  ↑cexp 12590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-2nd 6935  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-er 7505  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-div 10434  df-nn 10776  df-2 10834  df-n0 11048  df-z 11119  df-uz 11428  df-seq 12532  df-exp 12591

This theorem is referenced by: (None)