MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqeqd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqeqd 14515
Description: A deduction for showing two numbers whose squares are equal are themselves equal. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sqeqd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
sqeqd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
sqeqd.3 (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐵↑2))
sqeqd.4 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
sqeqd.5 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐵))
sqeqd.6 ((𝜑 ∧ (ℜ‘𝐴) = 0 ∧ (ℜ‘𝐵) = 0) → 𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
sqeqd (𝜑𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem sqeqd
StepHypRef Expression
1 sqeqd.3 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐵↑2))
2 sqeqd.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 sqeqd.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 sqeqor 13568 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐴 = -𝐵)))
52, 3, 4syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐴 = -𝐵)))
61, 5mpbid 233 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝐴 = -𝐵))
76ord 858 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐴 = -𝐵))
8 simpl 483 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → 𝜑)
9 fveq2 6664 . . . . . . 7 (𝐴 = -𝐵 → (ℜ‘𝐴) = (ℜ‘-𝐵))
10 reneg 14474 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐵) = -(ℜ‘𝐵))
113, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℜ‘-𝐵) = -(ℜ‘𝐵))
129, 11sylan9eqr 2878 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐴) = -(ℜ‘𝐵))
13 sqeqd.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
1413adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
1514, 12breqtrd 5084 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → 0 ≤ -(ℜ‘𝐵))
163adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
17 recl 14459 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
1918le0neg1d 11200 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → ((ℜ‘𝐵) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)))
2015, 19mpbird 258 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐵) ≤ 0)
21 sqeqd.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐵))
2221adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → 0 ≤ (ℜ‘𝐵))
23 0re 10632 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
24 letri3 10715 . . . . . . . . . 10 (((ℜ‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝐵) = 0 ↔ ((ℜ‘𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵))))
2518, 23, 24sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → ((ℜ‘𝐵) = 0 ↔ ((ℜ‘𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵))))
2620, 22, 25mpbir2and 709 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐵) = 0)
2726negeqd 10869 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → -(ℜ‘𝐵) = -0)
28 neg0 10921 . . . . . . 7 -0 = 0
2927, 28syl6eq 2872 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → -(ℜ‘𝐵) = 0)
3012, 29eqtrd 2856 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐴) = 0)
31 sqeqd.6 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (ℜ‘𝐴) = 0 ∧ (ℜ‘𝐵) = 0) → 𝐴 = 𝐵)
328, 30, 26, 31syl3anc 1363 . . . 4 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
3332ex 413 . . 3 (𝜑 → (𝐴 = -𝐵𝐴 = 𝐵))
347, 33syld 47 . 2 (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐴 = 𝐵))
3534pm2.18d 127 1 (𝜑𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5058  cfv 6349  (class class class)co 7145  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  cle 10665  -cneg 10860  2c2 11681  cexp 13419  cre 14446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-seq 13360  df-exp 13420  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator