Theorem sqf11 25710

Description: A squarefree number is completely determined by the set of its prime divisors. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sqf11	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ 𝑝 ∥ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝

Proof of Theorem sqf11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 11898	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nnnn0 11898	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		pc11 16210	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵)))
5	4	ad2ant2r 745	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵)))
6		eleq1 2900	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ))
7		dfbi3 1044	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ) ↔ (((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ) ∨ (¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ)))
8		sqfpc 25708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1)
9	8	ad4ant124 1169	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1)
10		nnle1eq1 11661	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1 ↔ (𝑝 pCnt 𝐴) = 1))
11	9, 10	syl5ibcom 247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ → (𝑝 pCnt 𝐴) = 1))
12		simprl 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℕ)
13	12	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℕ)
14		simplrr 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (μ‘𝐵) ≠ 0)
15		simpr 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
16		sqfpc 25708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ 1)
17	13, 14, 15, 16	syl3anc 1367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ 1)
18		nnle1eq1 11661	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ → ((𝑝 pCnt 𝐵) ≤ 1 ↔ (𝑝 pCnt 𝐵) = 1))
19	17, 18	syl5ibcom 247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ → (𝑝 pCnt 𝐵) = 1))
20	11, 19	anim12d 610	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = 1 ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) = 1)))
21		eqtr3 2843	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 pCnt 𝐴) = 1 ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) = 1) → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵))
22	20, 21	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵)))
23		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
24		simpll 765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℕ)
25		pccl 16180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
26	23, 24, 25	syl2anr 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
27		elnn0 11893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝐴) = 0))
28	26, 27	sylib 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝐴) = 0))
29	28	ord 860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ → (𝑝 pCnt 𝐴) = 0))
30		pccl 16180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ0)
31	23, 12, 30	syl2anr 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ0)
32		elnn0 11893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝐵) = 0))
33	31, 32	sylib 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝐵) = 0))
34	33	ord 860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ → (𝑝 pCnt 𝐵) = 0))
35	29, 34	anim12d 610	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) = 0)))
36		eqtr3 2843	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) = 0) → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵))
37	35, 36	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵)))
38	22, 37	jaod 855	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ) ∨ (¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵)))
39	7, 38	syl5bi 244	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵)))
40	6, 39	impbid2 228	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ)))
41		pcelnn 16200	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝐴))
42	23, 24, 41	syl2anr 598	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝐴))
43		pcelnn 16200	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝐵))
44	23, 12, 43	syl2anr 598	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝐵))
45	42, 44	bibi12d 348	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ) ↔ (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ 𝑝 ∥ 𝐵)))
46	40, 45	bitrd 281	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ 𝑝 ∥ 𝐵)))
47	46	ralbidva 3196	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ 𝑝 ∥ 𝐵)))
48	5, 47	bitrd 281	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ 𝑝 ∥ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138   class class class wbr 5059  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  0cc0 10531  1c1 10532   ≤ cle 10670  ℕcn 11632  ℕ₀cn0 11891   ∥ cdvds 15601  ℙcprime 16009   pCnt cpc 16167  μcmu 25666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-fz 12887  df-fl 13156  df-mod 13232  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-dvds 15602  df-gcd 15838  df-prm 16010  df-pc 16168  df-mu 25672

This theorem is referenced by: (None)