MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqgt0sr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqgt0sr 10516
Description: The square of a nonzero signed real is positive. (Contributed by NM, 14-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
sqgt0sr ((𝐴R𝐴 ≠ 0R) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))

Proof of Theorem sqgt0sr
StepHypRef Expression
1 0r 10490 . . . . 5 0RR
2 ltsosr 10504 . . . . . 6 <R Or R
3 sotrieq 5495 . . . . . 6 (( <R Or R ∧ (𝐴R ∧ 0RR)) → (𝐴 = 0R ↔ ¬ (𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴)))
42, 3mpan 686 . . . . 5 ((𝐴R ∧ 0RR) → (𝐴 = 0R ↔ ¬ (𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴)))
51, 4mpan2 687 . . . 4 (𝐴R → (𝐴 = 0R ↔ ¬ (𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴)))
65necon2abid 3055 . . 3 (𝐴R → ((𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴) ↔ 𝐴 ≠ 0R))
7 m1r 10492 . . . . . . . . 9 -1RR
8 mulclsr 10494 . . . . . . . . 9 ((𝐴R ∧ -1RR) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
97, 8mpan2 687 . . . . . . . 8 (𝐴R → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
10 ltasr 10510 . . . . . . . 8 ((𝐴 ·R -1R) ∈ R → (𝐴 <R 0R ↔ ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) <R ((𝐴 ·R -1R) +R 0R)))
119, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝐴R → (𝐴 <R 0R ↔ ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) <R ((𝐴 ·R -1R) +R 0R)))
12 addcomsr 10497 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) = (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R))
13 pn0sr 10511 . . . . . . . . 9 (𝐴R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)
1412, 13syl5eq 2865 . . . . . . . 8 (𝐴R → ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) = 0R)
15 0idsr 10507 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ·R -1R) ∈ R → ((𝐴 ·R -1R) +R 0R) = (𝐴 ·R -1R))
169, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴R → ((𝐴 ·R -1R) +R 0R) = (𝐴 ·R -1R))
1714, 16breq12d 5070 . . . . . . 7 (𝐴R → (((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) <R ((𝐴 ·R -1R) +R 0R) ↔ 0R <R (𝐴 ·R -1R)))
1811, 17bitrd 280 . . . . . 6 (𝐴R → (𝐴 <R 0R ↔ 0R <R (𝐴 ·R -1R)))
19 mulgt0sr 10515 . . . . . . 7 ((0R <R (𝐴 ·R -1R) ∧ 0R <R (𝐴 ·R -1R)) → 0R <R ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)))
2019anidms 567 . . . . . 6 (0R <R (𝐴 ·R -1R) → 0R <R ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)))
2118, 20syl6bi 254 . . . . 5 (𝐴R → (𝐴 <R 0R → 0R <R ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R))))
22 mulcomsr 10499 . . . . . . . . . . . 12 (-1R ·R 𝐴) = (𝐴 ·R -1R)
2322oveq1i 7155 . . . . . . . . . . 11 ((-1R ·R 𝐴) ·R -1R) = ((𝐴 ·R -1R) ·R -1R)
24 mulasssr 10500 . . . . . . . . . . 11 ((-1R ·R 𝐴) ·R -1R) = (-1R ·R (𝐴 ·R -1R))
25 mulasssr 10500 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ·R -1R) ·R -1R) = (𝐴 ·R (-1R ·R -1R))
2623, 24, 253eqtr3i 2849 . . . . . . . . . 10 (-1R ·R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 ·R (-1R ·R -1R))
27 m1m1sr 10503 . . . . . . . . . . 11 (-1R ·R -1R) = 1R
2827oveq2i 7156 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ·R (-1R ·R -1R)) = (𝐴 ·R 1R)
2926, 28eqtri 2841 . . . . . . . . 9 (-1R ·R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 ·R 1R)
3029oveq2i 7156 . . . . . . . 8 (𝐴 ·R (-1R ·R (𝐴 ·R -1R))) = (𝐴 ·R (𝐴 ·R 1R))
31 mulasssr 10500 . . . . . . . 8 ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 ·R (-1R ·R (𝐴 ·R -1R)))
32 mulasssr 10500 . . . . . . . 8 ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R) = (𝐴 ·R (𝐴 ·R 1R))
3330, 31, 323eqtr4i 2851 . . . . . . 7 ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)) = ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R)
34 mulclsr 10494 . . . . . . . . 9 ((𝐴R𝐴R) → (𝐴 ·R 𝐴) ∈ R)
35 1idsr 10508 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ·R 𝐴) ∈ R → ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R) = (𝐴 ·R 𝐴))
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴R𝐴R) → ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R) = (𝐴 ·R 𝐴))
3736anidms 567 . . . . . . 7 (𝐴R → ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R) = (𝐴 ·R 𝐴))
3833, 37syl5eq 2865 . . . . . 6 (𝐴R → ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 ·R 𝐴))
3938breq2d 5069 . . . . 5 (𝐴R → (0R <R ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)) ↔ 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
4021, 39sylibd 240 . . . 4 (𝐴R → (𝐴 <R 0R → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
41 mulgt0sr 10515 . . . . . 6 ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐴) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))
4241anidms 567 . . . . 5 (0R <R 𝐴 → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))
4342a1i 11 . . . 4 (𝐴R → (0R <R 𝐴 → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
4440, 43jaod 853 . . 3 (𝐴R → ((𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
456, 44sylbird 261 . 2 (𝐴R → (𝐴 ≠ 0R → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
4645imp 407 1 ((𝐴R𝐴 ≠ 0R) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057   Or wor 5466  (class class class)co 7145  Rcnr 10275  0Rc0r 10276  1Rc1r 10277  -1Rcm1r 10278   +R cplr 10279   ·R cmr 10280   <R cltr 10281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-ec 8280  df-qs 8284  df-ni 10282  df-pli 10283  df-mi 10284  df-lti 10285  df-plpq 10318  df-mpq 10319  df-ltpq 10320  df-enq 10321  df-nq 10322  df-erq 10323  df-plq 10324  df-mq 10325  df-1nq 10326  df-rq 10327  df-ltnq 10328  df-np 10391  df-1p 10392  df-plp 10393  df-mp 10394  df-ltp 10395  df-enr 10465  df-nr 10466  df-plr 10467  df-mr 10468  df-ltr 10469  df-0r 10470  df-1r 10471  df-m1r 10472
This theorem is referenced by:  recexsr  10517
  Copyright terms: Public domain W3C validator