MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqnprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqnprm 15461
Description: A square is never prime. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
sqnprm (𝐴 ∈ ℤ → ¬ (𝐴↑2) ∈ ℙ)

Proof of Theorem sqnprm
StepHypRef Expression
1 zre 11419 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
21adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 absresq 14086 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
52recnd 10106 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℂ)
65abscld 14219 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
76recnd 10106 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
87sqvald 13045 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → ((abs‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)))
94, 8eqtr3d 2687 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (𝐴↑2) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)))
10 simpr 476 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (𝐴↑2) ∈ ℙ)
119, 10eqeltrrd 2731 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) ∈ ℙ)
12 nn0abscl 14096 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)
1312adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)
1413nn0zd 11518 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (abs‘𝐴) ∈ ℤ)
15 sq1 12998 . . . . . 6 (1↑2) = 1
16 prmuz2 15455 . . . . . . . . 9 ((𝐴↑2) ∈ ℙ → (𝐴↑2) ∈ (ℤ‘2))
1716adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (𝐴↑2) ∈ (ℤ‘2))
18 eluz2b1 11797 . . . . . . . . 9 ((𝐴↑2) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴↑2)))
1918simprbi 479 . . . . . . . 8 ((𝐴↑2) ∈ (ℤ‘2) → 1 < (𝐴↑2))
2017, 19syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 1 < (𝐴↑2))
2120, 4breqtrrd 4713 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 1 < ((abs‘𝐴)↑2))
2215, 21syl5eqbr 4720 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (1↑2) < ((abs‘𝐴)↑2))
235absge0d 14227 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
24 1re 10077 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
25 0le1 10589 . . . . . . 7 0 ≤ 1
26 lt2sq 12977 . . . . . . 7 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))) → (1 < (abs‘𝐴) ↔ (1↑2) < ((abs‘𝐴)↑2)))
2724, 25, 26mpanl12 718 . . . . . 6 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) → (1 < (abs‘𝐴) ↔ (1↑2) < ((abs‘𝐴)↑2)))
286, 23, 27syl2anc 694 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (1 < (abs‘𝐴) ↔ (1↑2) < ((abs‘𝐴)↑2)))
2922, 28mpbird 247 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 1 < (abs‘𝐴))
30 eluz2b1 11797 . . . 4 ((abs‘𝐴) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((abs‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 < (abs‘𝐴)))
3114, 29, 30sylanbrc 699 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (abs‘𝐴) ∈ (ℤ‘2))
32 nprm 15448 . . 3 (((abs‘𝐴) ∈ (ℤ‘2) ∧ (abs‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → ¬ ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) ∈ ℙ)
3331, 31, 32syl2anc 694 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → ¬ ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) ∈ ℙ)
3411, 33pm2.65da 599 1 (𝐴 ∈ ℤ → ¬ (𝐴↑2) ∈ ℙ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  cexp 12900  abscabs 14018  cprime 15432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-prm 15433
This theorem is referenced by:  2sqblem  25201  2sqn0  29774  2sqcoprm  29775
  Copyright terms: Public domain W3C validator