MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqr0lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqr0lem 14101
Description: Square root of zero. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
sqr0lem ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+)) ↔ 𝐴 = 0)

Proof of Theorem sqr0lem
StepHypRef Expression
1 sqeq0 13042 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
21biimpa 502 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 0) → 𝐴 = 0)
323ad2antr1 1180 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+)) → 𝐴 = 0)
4 0re 10153 . . . . 5 0 ∈ ℝ
5 eleq1 2791 . . . . 5 (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 0 ∈ ℝ))
64, 5mpbiri 248 . . . 4 (𝐴 = 0 → 𝐴 ∈ ℝ)
76recnd 10181 . . 3 (𝐴 = 0 → 𝐴 ∈ ℂ)
8 sq0i 13071 . . . 4 (𝐴 = 0 → (𝐴↑2) = 0)
9 0le0 11223 . . . . 5 0 ≤ 0
10 fveq2 6304 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → (ℜ‘𝐴) = (ℜ‘0))
11 re0 14012 . . . . . 6 (ℜ‘0) = 0
1210, 11syl6eq 2774 . . . . 5 (𝐴 = 0 → (ℜ‘𝐴) = 0)
139, 12syl5breqr 4798 . . . 4 (𝐴 = 0 → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
14 rennim 14099 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∉ ℝ+)
156, 14syl 17 . . . 4 (𝐴 = 0 → (i · 𝐴) ∉ ℝ+)
168, 13, 153jca 1379 . . 3 (𝐴 = 0 → ((𝐴↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+))
177, 16jca 555 . 2 (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
183, 17impbii 199 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+)) ↔ 𝐴 = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  wnel 2999   class class class wbr 4760  cfv 6001  (class class class)co 6765  cc 10047  cr 10048  0cc0 10049  ici 10051   · cmul 10054  cle 10188  2c2 11183  +crp 11946  cexp 12975  cre 13957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-seq 12917  df-exp 12976  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961
This theorem is referenced by:  sqrt0  14102
  Copyright terms: Public domain W3C validator