Theorem sqr2irr 6679

Description: The square root of 2 is irrational.

Assertion

Ref	Expression
sqr2irr	⊢ (√ ‘2) ∉ ℚ

Proof of Theorem sqr2irr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqr2irrlem3 6676	. . . . 5 ⊢ ¬ ∃x ∈ ℕ ∃y ∈ ℕ (x↑2) = (2 · (y↑2))
2		sqr2irrlem5 6678	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ ℕ ⋀ y ∈ ℕ) → ((√ ‘2) = (x / y) ↔ (x↑2) = (2 · (y↑2))))
3	2	2rexbiia 1672	. . . . 5 ⊢ (∃x ∈ ℕ ∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y) ↔ ∃x ∈ ℕ ∃y ∈ ℕ (x↑2) = (2 · (y↑2)))
4	1, 3	mtbir 192	. . . 4 ⊢ ¬ ∃x ∈ ℕ ∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y)
5		nngt0t 5914	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y ∈ ℕ → 0 < y)
6	5	adantr 389	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y ∈ ℕ ⋀ x ∈ ℤ) → 0 < y)
7		0re 5432	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		ltmuldivt 5837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((0 ∈ ℝ ⋀ y ∈ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) ⋀ 0 < y) → ((0 · y) < x ↔ 0 < (x / y)))
9	8	ex 373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ ⋀ y ∈ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) → (0 < y → ((0 · y) < x ↔ 0 < (x / y))))
10	7, 9	mp3an1 901	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((y ∈ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) → (0 < y → ((0 · y) < x ↔ 0 < (x / y))))
11		nnret 5897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y ∈ ℕ → y ∈ ℝ)
12		zret 6106	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x ∈ ℤ → x ∈ ℝ)
13	10, 11, 12	syl2an 454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y ∈ ℕ ⋀ x ∈ ℤ) → (0 < y → ((0 · y) < x ↔ 0 < (x / y))))
14	6, 13	mpd 26	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y ∈ ℕ ⋀ x ∈ ℤ) → ((0 · y) < x ↔ 0 < (x / y)))
15	14	ancoms 436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ ℤ ⋀ y ∈ ℕ) → ((0 · y) < x ↔ 0 < (x / y)))
16		2re 5946	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
17		2pos 5956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
18	16, 17	sqrgt0i 6647	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < (√ ‘2)
19		breq2 2619	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((√ ‘2) = (x / y) → (0 < (√ ‘2) ↔ 0 < (x / y)))
20	18, 19	mpbii 193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((√ ‘2) = (x / y) → 0 < (x / y))
21	15, 20	syl5bir 210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x ∈ ℤ ⋀ y ∈ ℕ) → ((√ ‘2) = (x / y) → (0 · y) < x))
22		nncnt 5898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y ∈ ℕ → y ∈ ℂ)
23		mul02t 5436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y ∈ ℂ → (0 · y) = 0)
24	22, 23	syl 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ∈ ℕ → (0 · y) = 0)
25	24	breq1d 2625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ ℕ → ((0 · y) < x ↔ 0 < x))
26	25	adantl 388	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x ∈ ℤ ⋀ y ∈ ℕ) → ((0 · y) < x ↔ 0 < x))
27	21, 26	sylibd 202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ ℤ ⋀ y ∈ ℕ) → ((√ ‘2) = (x / y) → 0 < x))
28	27	r19.23adva 1744	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ ℤ → (∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y) → 0 < x))
29	28	anc2li 302	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ℤ → (∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y) → (x ∈ ℤ ⋀ 0 < x)))
30		elnnz 6112	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ℕ ↔ (x ∈ ℤ ⋀ 0 < x))
31	29, 30	syl6ibr 213	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ ℤ → (∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y) → x ∈ ℕ))
32	31	impac 387	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ ℤ ⋀ ∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y)) → (x ∈ ℕ ⋀ ∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y)))
33	32	r19.22i2 1730	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ ℤ ∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y) → ∃x ∈ ℕ ∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y))
34	4, 33	mto 106	. . 3 ⊢ ¬ ∃x ∈ ℤ ∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y)
35		elq 6215	. . 3 ⊢ ((√ ‘2) ∈ ℚ ↔ ∃x ∈ ℤ ∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y))
36	34, 35	mtbir 192	. 2 ⊢ ¬ (√ ‘2) ∈ ℚ
37		df-nel 1585	. 2 ⊢ ((√ ‘2) ∉ ℚ ↔ ¬ (√ ‘2) ∈ ℚ)
38	36, 37	mpbir 190	1 ⊢ (√ ‘2) ∉ ℚ

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 774   = wceq 954   ∈ wcel 956   ∉ wnel 1583  ∃wrex 1643   class class class wbr 2615   ‘cfv 3182  (class class class)co 3965  ℂcc 5224  ℝcr 5225  0cc0 5226   · cmul 5231   / cdiv 5286  ℕcn 5288  ℤcz 5290  ℚcq 5291   < clt 5478  2c2 5928  ↑cexp 6520  √csqr 6619

This theorem is referenced by:  nthruc 6696

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2865  ax-inf2 4617

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2839  df-so 2849  df-fr 2916  df-we 2933  df-ord 2950  df-on 2951  df-lim 2952  df-suc 2953  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3934  df-opr 3967  df-oprab 3968  df-1st 4080  df-2nd 4081  df-1o 4134  df-oadd 4136  df-omul 4137  df-er 4262  df-ec 4264  df-qs 4267  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4566  df-ni 4992  df-pli 4993  df-mi 4994  df-lti 4995  df-plpq 5027  df-mpq 5028  df-enq 5029  df-nq 5030  df-plq 5031  df-mq 5032  df-rq 5033  df-ltq 5034  df-1q 5035  df-np 5078  df-1p 5079  df-plp 5080  df-mp 5081  df-ltp 5082  df-plpr 5156  df-mpr 5157  df-enr 5158  df-nr 5159  df-plr 5160  df-mr 5161  df-ltr 5162  df-0r 5163  df-1r 5164  df-m1r 5165  df-c 5232  df-0 5233  df-1 5234  df-i 5235  df-r 5236  df-plus 5237  df-mul 5238  df-lt 5239  df-sub 5348  df-neg 5350  df-pnf 5479  df-mnf 5480  df-xr 5481  df-ltxr 5482  df-le 5483  df-div 5692  df-n 5893  df-2 5937  df-n0 6067  df-z 6103  df-q 6214  df-seq1 6265  df-uz 6370  df-exp 6521  df-sqr 6620

Copyright terms: Public domain