MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqr2irrlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqr2irrlem 14685
Description: Lemma for irrationality of square root of 2. The core of the proof - if 𝐴 / 𝐵 = √(2), then 𝐴 and 𝐵 are even, so 𝐴 / 2 and 𝐵 / 2 are smaller representatives, which is absurd by the method of infinite descent (here implemented by strong induction). This is Metamath 100 proof #1. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sqr2irrlem.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
sqr2irrlem.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
sqrt2irrlem.3 (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))
Assertion
Ref Expression
sqr2irrlem (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem sqr2irrlem
StepHypRef Expression
1 2cn 10846 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
2 sqrtth 13811 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℂ → ((√‘2)↑2) = 2)
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((√‘2)↑2) = 2
4 sqrt2irrlem.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))
54oveq1d 6441 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((√‘2)↑2) = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
63, 5syl5eqr 2562 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
7 sqr2irrlem.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
87zcnd 11223 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
9 sqr2irrlem.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
109nncnd 10791 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
119nnne0d 10820 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ≠ 0)
128, 10, 11sqdivd 12751 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
136, 12eqtrd 2548 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
1413oveq1d 6441 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)))
158sqcld 12736 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
169nnsqcld 12759 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
1716nncnd 10791 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
1816nnne0d 10820 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵↑2) ≠ 0)
1915, 17, 18divcan1d 10551 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
2014, 19eqtrd 2548 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
2120oveq1d 6441 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = ((𝐴↑2) / 2))
221a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
23 2ne0 10868 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
2423a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ≠ 0)
2517, 22, 24divcan3d 10555 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = (𝐵↑2))
2621, 25eqtr3d 2550 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) = (𝐵↑2))
2726, 16eqeltrd 2592 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℕ)
2827nnzd 11221 . . 3 (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ)
29 zesq 12717 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
307, 29syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
3128, 30mpbird 245 . 2 (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℤ)
321sqvali 12673 . . . . . . . 8 (2↑2) = (2 · 2)
3332oveq2i 6437 . . . . . . 7 ((𝐴↑2) / (2↑2)) = ((𝐴↑2) / (2 · 2))
348, 22, 24sqdivd 12751 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐴↑2) / (2↑2)))
3515, 22, 22, 24, 24divdiv1d 10581 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐴↑2) / (2 · 2)))
3633, 34, 353eqtr4a 2574 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = (((𝐴↑2) / 2) / 2))
3726oveq1d 6441 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐵↑2) / 2))
3836, 37eqtrd 2548 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐵↑2) / 2))
39 zsqcl 12664 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ ℤ → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
4031, 39syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
4138, 40eqeltrrd 2593 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ)
4216nnrpd 11612 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ+)
4342rphalfcld 11626 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℝ+)
4443rpgt0d 11617 . . . 4 (𝜑 → 0 < ((𝐵↑2) / 2))
45 elnnz 11128 . . . 4 (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝐵↑2) / 2)))
4641, 44, 45sylanbrc 694 . . 3 (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ)
47 nnesq 12718 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
489, 47syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
4946, 48mpbird 245 . 2 (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℕ)
5031, 49jca 552 1 (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1938  wne 2684   class class class wbr 4481  cfv 5689  (class class class)co 6426  cc 9689  0cc0 9691   · cmul 9696   < clt 9829   / cdiv 10433  cn 10775  2c2 10825  cz 11118  cexp 12590  csqrt 13680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768  ax-pre-sup 9769
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-2nd 6935  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-er 7505  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-sup 8107  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-div 10434  df-nn 10776  df-2 10834  df-3 10835  df-n0 11048  df-z 11119  df-uz 11428  df-rp 11575  df-seq 12532  df-exp 12591  df-cj 13546  df-re 13547  df-im 13548  df-sqrt 13682  df-abs 13683
This theorem is referenced by:  sqrt2irr  14686
  Copyright terms: Public domain W3C validator