Theorem sqrlem1 14596

Description: Lemma for 01sqrex 14603. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqrlem1.1	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
sqrlem1.2	⊢ 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
sqrlem1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 1)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑆   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem sqrlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7157	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥↑2) = (𝑦↑2))
2	1	breq1d 5068	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥↑2) ≤ 𝐴 ↔ (𝑦↑2) ≤ 𝐴))
3		sqrlem1.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
4	2, 3	elrab2 3682	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴))
5		simprr 771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → (𝑦↑2) ≤ 𝐴)
6		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → 𝐴 ≤ 1)
7		rpre 12391	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ)
8	7	ad2antrl 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
9	8	resqcld 13605	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → (𝑦↑2) ∈ ℝ)
10		rpre 12391	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
12		1re 10635	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
13		letr 10728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦↑2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((𝑦↑2) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑦↑2) ≤ 1))
14	12, 13	mp3an3 1446	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦↑2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝑦↑2) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑦↑2) ≤ 1))
15	9, 11, 14	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → (((𝑦↑2) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑦↑2) ≤ 1))
16	5, 6, 15	mp2and 697	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → (𝑦↑2) ≤ 1)
17		sq1 13552	. . . . . 6 ⊢ (1↑2) = 1
18	16, 17	breqtrrdi 5100	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → (𝑦↑2) ≤ (1↑2))
19		rpge0 12396	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑦)
20	19	ad2antrl 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → 0 ≤ 𝑦)
21		0le1 11157	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
22		le2sq 13493	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → (𝑦 ≤ 1 ↔ (𝑦↑2) ≤ (1↑2)))
23	12, 21, 22	mpanr12 703	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦) → (𝑦 ≤ 1 ↔ (𝑦↑2) ≤ (1↑2)))
24	8, 20, 23	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → (𝑦 ≤ 1 ↔ (𝑦↑2) ≤ (1↑2)))
25	18, 24	mpbird 259	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → 𝑦 ≤ 1)
26	25	ex 415	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴) → 𝑦 ≤ 1))
27	4, 26	syl5bi 244	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ≤ 1))
28	27	ralrimiv 3181	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  {crab 3142   class class class wbr 5058  (class class class)co 7150  supcsup 8898  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   < clt 10669   ≤ cle 10670  2c2 11686  ℝ⁺crp 12383  ↑cexp 13423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-seq 13364  df-exp 13424

This theorem is referenced by:  sqrlem3  14598  sqrlem4  14599