MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrlem2 13778
Description: Lemma for 01sqrex 13784. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrlem1.1 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
sqrlem1.2 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
sqrlem2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝐴𝑆)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem sqrlem2
StepHypRef Expression
1 simpl 471 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ+)
2 rpre 11671 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
3 rpgt0 11676 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
4 1re 9895 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
5 lemul1 10724 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐴 ≤ 1 ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (1 · 𝐴)))
64, 5mp3an2 1403 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐴 ≤ 1 ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (1 · 𝐴)))
72, 2, 3, 6syl12anc 1315 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ≤ 1 ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (1 · 𝐴)))
87biimpa 499 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐴 · 𝐴) ≤ (1 · 𝐴))
9 rpcn 11673 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
109adantr 479 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
11 sqval 12739 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
1211eqcomd 2615 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
1310, 12syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
149mulid2d 9914 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
1514adantr 479 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
168, 13, 153brtr3d 4608 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐴↑2) ≤ 𝐴)
17 oveq1 6534 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥↑2) = (𝐴↑2))
1817breq1d 4587 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥↑2) ≤ 𝐴 ↔ (𝐴↑2) ≤ 𝐴))
19 sqrlem1.1 . . 3 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
2018, 19elrab2 3332 . 2 (𝐴𝑆 ↔ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴))
211, 16, 20sylanbrc 694 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝐴𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  {crab 2899   class class class wbr 4577  (class class class)co 6527  supcsup 8206  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   · cmul 9797   < clt 9930  cle 9931  2c2 10917  +crp 11664  cexp 12677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-seq 12619  df-exp 12678
This theorem is referenced by:  sqrlem3  13779  sqrlem4  13780
  Copyright terms: Public domain W3C validator