Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrlem2 14028
 Description: Lemma for 01sqrex 14034. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrlem1.1 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
sqrlem1.2 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
sqrlem2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝐴𝑆)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem sqrlem2
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ+)
2 rpre 11877 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
3 rpgt0 11882 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
4 1re 10077 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
5 lemul1 10913 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐴 ≤ 1 ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (1 · 𝐴)))
64, 5mp3an2 1452 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐴 ≤ 1 ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (1 · 𝐴)))
72, 2, 3, 6syl12anc 1364 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ≤ 1 ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (1 · 𝐴)))
87biimpa 500 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐴 · 𝐴) ≤ (1 · 𝐴))
9 rpcn 11879 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
109adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
11 sqval 12962 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
1211eqcomd 2657 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
1310, 12syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
149mulid2d 10096 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
1514adantr 480 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
168, 13, 153brtr3d 4716 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐴↑2) ≤ 𝐴)
17 oveq1 6697 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥↑2) = (𝐴↑2))
1817breq1d 4695 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥↑2) ≤ 𝐴 ↔ (𝐴↑2) ≤ 𝐴))
19 sqrlem1.1 . . 3 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
2018, 19elrab2 3399 . 2 (𝐴𝑆 ↔ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴))
211, 16, 20sylanbrc 699 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝐴𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {crab 2945   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  supcsup 8387  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979   < clt 10112   ≤ cle 10113  2c2 11108  ℝ+crp 11870  ↑cexp 12900 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901 This theorem is referenced by:  sqrlem3  14029  sqrlem4  14030
 Copyright terms: Public domain W3C validator