MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrlem3 13781
Description: Lemma for 01sqrex 13786. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrlem1.1 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
sqrlem1.2 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
sqrlem3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑧))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝑆   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem sqrlem3
StepHypRef Expression
1 sqrlem1.1 . . . 4 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
2 ssrab2 3649 . . . . 5 {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴} ⊆ ℝ+
3 rpssre 11677 . . . . 5 + ⊆ ℝ
42, 3sstri 3576 . . . 4 {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴} ⊆ ℝ
51, 4eqsstri 3597 . . 3 𝑆 ⊆ ℝ
65a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝑆 ⊆ ℝ)
7 sqrlem1.2 . . . 4 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
81, 7sqrlem2 13780 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝐴𝑆)
9 ne0i 3879 . . 3 (𝐴𝑆𝑆 ≠ ∅)
108, 9syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝑆 ≠ ∅)
11 1re 9895 . . 3 1 ∈ ℝ
121, 7sqrlem1 13779 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ 1)
13 breq2 4581 . . . . 5 (𝑧 = 1 → (𝑦𝑧𝑦 ≤ 1))
1413ralbidv 2968 . . . 4 (𝑧 = 1 → (∀𝑦𝑆 𝑦𝑧 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ 1))
1514rspcev 3281 . . 3 ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ 1) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑧)
1611, 12, 15sylancr 693 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑧)
176, 10, 163jca 1234 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  {crab 2899  wss 3539  c0 3873   class class class wbr 4577  (class class class)co 6526  supcsup 8206  cr 9791  1c1 9793   < clt 9930  cle 9931  2c2 10919  +crp 11666  cexp 12679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10536  df-nn 10870  df-2 10928  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-rp 11667  df-seq 12621  df-exp 12680
This theorem is referenced by:  sqrlem4  13782  sqrlem5  13783  sqrlem6  13784  sqrlem7  13785
  Copyright terms: Public domain W3C validator