MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrlem5 13921
Description: Lemma for 01sqrex 13924. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrlem1.1 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
sqrlem1.2 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
sqrlem5.3 𝑇 = {𝑦 ∣ ∃𝑎𝑆𝑏𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏)}
Assertion
Ref Expression
sqrlem5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 𝑢𝑣) ∧ (𝐵↑2) = sup(𝑇, ℝ, < )))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑢,𝑣,𝑦,𝑆   𝑥,𝑎,𝐴,𝑏,𝑣,𝑦   𝑣,𝐵,𝑦   𝑢,𝑇,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑢)   𝐵(𝑥,𝑢,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem sqrlem5
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrlem1.1 . . . . . . . 8 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
2 ssrab2 3666 . . . . . . . 8 {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴} ⊆ ℝ+
31, 2eqsstri 3614 . . . . . . 7 𝑆 ⊆ ℝ+
43sseli 3579 . . . . . 6 (𝑣𝑆𝑣 ∈ ℝ+)
54rpge0d 11820 . . . . 5 (𝑣𝑆 → 0 ≤ 𝑣)
65rgen 2917 . . . 4 𝑣𝑆 0 ≤ 𝑣
76a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ∀𝑣𝑆 0 ≤ 𝑣)
8 sqrlem1.2 . . . 4 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
91, 8sqrlem3 13919 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑣))
10 sqrlem5.3 . . . 4 𝑇 = {𝑦 ∣ ∃𝑎𝑆𝑏𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏)}
11 pm4.24 674 . . . . 5 (∀𝑣𝑆 0 ≤ 𝑣 ↔ (∀𝑣𝑆 0 ≤ 𝑣 ∧ ∀𝑣𝑆 0 ≤ 𝑣))
12113anbi1i 1251 . . . 4 ((∀𝑣𝑆 0 ≤ 𝑣 ∧ (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑣) ∧ (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑣)) ↔ ((∀𝑣𝑆 0 ≤ 𝑣 ∧ ∀𝑣𝑆 0 ≤ 𝑣) ∧ (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑣) ∧ (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑣)))
1310, 12supmullem2 10938 . . 3 ((∀𝑣𝑆 0 ≤ 𝑣 ∧ (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑣) ∧ (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑣)) → (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 𝑢𝑣))
147, 9, 9, 13syl3anc 1323 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 𝑢𝑣))
151, 8sqrlem4 13920 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≤ 1))
16 rpre 11783 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
1716adantr 481 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℝ)
1815, 17syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℝ)
1918recnd 10012 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℂ)
2019sqvald 12945 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
218, 8oveq12i 6616 . . . 4 (𝐵 · 𝐵) = (sup(𝑆, ℝ, < ) · sup(𝑆, ℝ, < ))
2210, 12supmul 10939 . . . . 5 ((∀𝑣𝑆 0 ≤ 𝑣 ∧ (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑣) ∧ (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑣)) → (sup(𝑆, ℝ, < ) · sup(𝑆, ℝ, < )) = sup(𝑇, ℝ, < ))
237, 9, 9, 22syl3anc 1323 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (sup(𝑆, ℝ, < ) · sup(𝑆, ℝ, < )) = sup(𝑇, ℝ, < ))
2421, 23syl5eq 2667 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵 · 𝐵) = sup(𝑇, ℝ, < ))
2520, 24eqtrd 2655 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) = sup(𝑇, ℝ, < ))
2614, 25jca 554 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 𝑢𝑣) ∧ (𝐵↑2) = sup(𝑇, ℝ, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  {cab 2607  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911  wss 3555  c0 3891   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  supcsup 8290  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   · cmul 9885   < clt 10018  cle 10019  2c2 11014  +crp 11776  cexp 12800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-seq 12742  df-exp 12801
This theorem is referenced by:  sqrlem6  13922
  Copyright terms: Public domain W3C validator