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Theorem sqrlem7 13939
Description: Lemma for 01sqrex 13940. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrlem1.1 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
sqrlem1.2 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
sqrlem5.3 𝑇 = {𝑦 ∣ ∃𝑎𝑆𝑏𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏)}
Assertion
Ref Expression
sqrlem7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑦,𝑆   𝑥,𝑎,𝐴,𝑏,𝑦   𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem sqrlem7
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrlem1.1 . . 3 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
2 sqrlem1.2 . . 3 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
3 sqrlem5.3 . . 3 𝑇 = {𝑦 ∣ ∃𝑎𝑆𝑏𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏)}
41, 2, 3sqrlem6 13938 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) ≤ 𝐴)
51, 2sqrlem3 13935 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑦))
65adantr 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑦))
71, 2sqrlem4 13936 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≤ 1))
87adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≤ 1))
98simpld 475 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ+)
10 rpre 11799 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
1110adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
12 rpre 11799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
1312adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℝ)
147, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℝ)
1514resqcld 12991 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
1611, 15resubcld 10418 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
1716adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
1815, 11posdifd 10574 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ((𝐵↑2) < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 − (𝐵↑2))))
1918biimpa 501 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 0 < (𝐴 − (𝐵↑2)))
2017, 19elrpd 11829 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ+)
21 3re 11054 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
22 3pos 11074 . . . . . . . 8 0 < 3
2321, 22elrpii 11795 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ+
24 rpdivcl 11816 . . . . . . 7 (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ+)
2520, 23, 24sylancl 693 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ+)
269, 25rpaddcld 11847 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ+)
2714adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2827recnd 10028 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
29 3nn 11146 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ
30 nndivre 11016 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ)
3116, 29, 30sylancl 693 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ)
3231adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ)
3332recnd 10028 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℂ)
34 binom2 12935 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℂ) → ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) = (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)))
3528, 33, 34syl2anc 692 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) = (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)))
3615adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
3736recnd 10028 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
38 2re 11050 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
3927, 32remulcld 10030 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ)
40 remulcl 9981 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ) → (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) ∈ ℝ)
4138, 39, 40sylancr 694 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) ∈ ℝ)
4241recnd 10028 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) ∈ ℂ)
4332resqcld 12991 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2) ∈ ℝ)
4443recnd 10028 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2) ∈ ℂ)
4537, 42, 44addassd 10022 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) = ((𝐵↑2) + ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2))))
4635, 45eqtrd 2655 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) = ((𝐵↑2) + ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2))))
47 2cn 11051 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
48 mulass 9984 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℂ) → ((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
4947, 48mp3an1 1408 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℂ) → ((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
5028, 33, 49syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
5150eqcomd 2627 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) = ((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))
5233sqvald 12961 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2) = (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))
5351, 52oveq12d 6633 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) = (((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
54 remulcl 9981 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
5538, 27, 54sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
5655recnd 10028 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
5756, 33, 33adddird 10025 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
5853, 57eqtr4d 2658 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) = (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))
597simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝐵 ≤ 1)
60 2pos 11072 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 2
61 1re 9999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ
62 lemul2 10836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐵 ≤ 1 ↔ (2 · 𝐵) ≤ (2 · 1)))
6361, 62mp3an2 1409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐵 ≤ 1 ↔ (2 · 𝐵) ≤ (2 · 1)))
6438, 60, 63mpanr12 720 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ≤ 1 ↔ (2 · 𝐵) ≤ (2 · 1)))
6514, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵 ≤ 1 ↔ (2 · 𝐵) ≤ (2 · 1)))
6659, 65mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (2 · 𝐵) ≤ (2 · 1))
6766adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · 𝐵) ≤ (2 · 1))
68 2t1e2 11136 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 1) = 2
6967, 68syl6breq 4664 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · 𝐵) ≤ 2)
7011adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
7161a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
7227sqge0d 12992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 0 ≤ (𝐵↑2))
7370, 36addge01d 10575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (0 ≤ (𝐵↑2) ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + (𝐵↑2))))
7472, 73mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐴 ≤ (𝐴 + (𝐵↑2)))
7570, 36, 70lesubaddd 10584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 𝐴𝐴 ≤ (𝐴 + (𝐵↑2))))
7674, 75mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 𝐴)
77 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐴 ≤ 1)
7817, 70, 71, 76, 77letrd 10154 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1)
79 1le3 11204 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ≤ 3
80 letr 10091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3))
8161, 21, 80mp3an23 1413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ → (((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3))
8217, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3))
8379, 82mpan2i 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1 → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3))
8478, 83mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3)
85 3t1e3 11138 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · 1) = 3
8684, 85syl6breqr 4665 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1))
87 ledivmul 10859 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1 ↔ (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1)))
8861, 87mp3an2 1409 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1 ↔ (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1)))
8921, 22, 88mpanr12 720 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1 ↔ (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1)))
9017, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1 ↔ (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1)))
9186, 90mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1)
92 le2add 10470 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)) → (((2 · 𝐵) ≤ 2 ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (2 + 1)))
9338, 61, 92mpanr12 720 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ) → (((2 · 𝐵) ≤ 2 ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (2 + 1)))
9455, 32, 93syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) ≤ 2 ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (2 + 1)))
9569, 91, 94mp2and 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (2 + 1))
96 df-3 11040 . . . . . . . . . . 11 3 = (2 + 1)
9795, 96syl6breqr 4665 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 3)
9855, 32readdcld 10029 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ)
9921a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 3 ∈ ℝ)
10098, 99, 25lemul1d 11875 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 3 ↔ (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
10197, 100mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))
10217recnd 10028 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
103 3cn 11055 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℂ
104 3ne0 11075 . . . . . . . . . . 11 3 ≠ 0
105 divcan2 10653 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (𝐴 − (𝐵↑2)))
106103, 104, 105mp3an23 1413 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℂ → (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (𝐴 − (𝐵↑2)))
107102, 106syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (𝐴 − (𝐵↑2)))
108101, 107breqtrd 4649 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (𝐴 − (𝐵↑2)))
10958, 108eqbrtrd 4645 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) ≤ (𝐴 − (𝐵↑2)))
11041, 43readdcld 10029 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) ∈ ℝ)
11136, 110, 70leaddsub2d 10589 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐵↑2) + ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2))) ≤ 𝐴 ↔ ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) ≤ (𝐴 − (𝐵↑2))))
112109, 111mpbird 247 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐵↑2) + ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2))) ≤ 𝐴)
11346, 112eqbrtrd 4645 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) ≤ 𝐴)
114 oveq1 6622 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) → (𝑦↑2) = ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2))
115114breq1d 4633 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) → ((𝑦↑2) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) ≤ 𝐴))
116 oveq1 6622 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥↑2) = (𝑦↑2))
117116breq1d 4633 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥↑2) ≤ 𝐴 ↔ (𝑦↑2) ≤ 𝐴))
118117cbvrabv 3189 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴} = {𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}
1191, 118eqtri 2643 . . . . . 6 𝑆 = {𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}
120115, 119elrab2 3353 . . . . 5 ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) ≤ 𝐴))
12126, 113, 120sylanbrc 697 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ 𝑆)
122 suprub 10944 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑦) ∧ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ 𝑆) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
123122, 2syl6breqr 4665 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑦) ∧ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ 𝑆) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵)
1246, 121, 123syl2anc 692 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵)
12525rpgt0d 11835 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 0 < ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))
12631, 14ltaddposd 10571 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (0 < ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ↔ 𝐵 < (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
12714, 31readdcld 10029 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ)
12814, 127ltnled 10144 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵 < (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ↔ ¬ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵))
129126, 128bitrd 268 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (0 < ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ↔ ¬ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵))
130129biimpa 501 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ 0 < ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) → ¬ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵)
131125, 130syldan 487 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ¬ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵)
132124, 131pm2.65da 599 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ¬ (𝐵↑2) < 𝐴)
13315, 11eqleltd 10141 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ((𝐵↑2) = 𝐴 ↔ ((𝐵↑2) ≤ 𝐴 ∧ ¬ (𝐵↑2) < 𝐴)))
1344, 132, 133mpbir2and 956 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  {cab 2607  wne 2790  wral 2908  wrex 2909  {crab 2912  wss 3560  c0 3897   class class class wbr 4623  (class class class)co 6615  supcsup 8306  cc 9894  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   · cmul 9901   < clt 10034  cle 10035  cmin 10226   / cdiv 10644  cn 10980  2c2 11030  3c3 11031  +crp 11792  cexp 12816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-sup 8308  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-seq 12758  df-exp 12817
This theorem is referenced by:  01sqrex  13940
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