Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrmo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrmo 13926
 Description: Uniqueness for the square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
sqrmo (𝐴 ∈ ℂ → ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem sqrmo
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr1 1101 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (𝑥↑2) = 𝐴)
2 simprr1 1107 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (𝑦↑2) = 𝐴)
31, 2eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (𝑥↑2) = (𝑦↑2))
4 sqeqor 12918 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) = (𝑦↑2) ↔ (𝑥 = 𝑦𝑥 = -𝑦)))
54ad2ant2r 782 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → ((𝑥↑2) = (𝑦↑2) ↔ (𝑥 = 𝑦𝑥 = -𝑦)))
63, 5mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (𝑥 = 𝑦𝑥 = -𝑦))
76ord 392 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (¬ 𝑥 = 𝑦𝑥 = -𝑦))
8 3simpc 1058 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
9 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = -𝑦 → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘-𝑦))
109breq2d 4625 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -𝑦 → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ↔ 0 ≤ (ℜ‘-𝑦)))
11 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = -𝑦 → (i · 𝑥) = (i · -𝑦))
12 neleq1 2898 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · 𝑥) = (i · -𝑦) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · -𝑦) ∉ ℝ+))
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -𝑦 → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · -𝑦) ∉ ℝ+))
1410, 13anbi12d 746 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -𝑦 → ((0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ (0 ≤ (ℜ‘-𝑦) ∧ (i · -𝑦) ∉ ℝ+)))
158, 14syl5ibcom 235 . . . . . . . . . 10 (((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) → (𝑥 = -𝑦 → (0 ≤ (ℜ‘-𝑦) ∧ (i · -𝑦) ∉ ℝ+)))
1615ad2antlr 762 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (𝑥 = -𝑦 → (0 ≤ (ℜ‘-𝑦) ∧ (i · -𝑦) ∉ ℝ+)))
177, 16syld 47 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (¬ 𝑥 = 𝑦 → (0 ≤ (ℜ‘-𝑦) ∧ (i · -𝑦) ∉ ℝ+)))
18 negeq 10217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 0 → -𝑦 = -0)
19 neg0 10271 . . . . . . . . . . . . . . 15 -0 = 0
2018, 19syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 0 → -𝑦 = 0)
2120eqeq2d 2631 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 0 → (𝑥 = -𝑦𝑥 = 0))
22 eqeq2 2632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 0 → (𝑥 = 𝑦𝑥 = 0))
2321, 22bitr4d 271 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 0 → (𝑥 = -𝑦𝑥 = 𝑦))
2423biimpcd 239 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -𝑦 → (𝑦 = 0 → 𝑥 = 𝑦))
2524necon3bd 2804 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -𝑦 → (¬ 𝑥 = 𝑦𝑦 ≠ 0))
267, 25syli 39 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (¬ 𝑥 = 𝑦𝑦 ≠ 0))
27 3simpc 1058 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+) → (0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))
28 cnpart 13914 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+) ↔ ¬ (0 ≤ (ℜ‘-𝑦) ∧ (i · -𝑦) ∉ ℝ+)))
2927, 28syl5ib 234 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+) → ¬ (0 ≤ (ℜ‘-𝑦) ∧ (i · -𝑦) ∉ ℝ+)))
3029impancom 456 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+)) → (𝑦 ≠ 0 → ¬ (0 ≤ (ℜ‘-𝑦) ∧ (i · -𝑦) ∉ ℝ+)))
3130adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (𝑦 ≠ 0 → ¬ (0 ≤ (ℜ‘-𝑦) ∧ (i · -𝑦) ∉ ℝ+)))
3226, 31syld 47 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (¬ 𝑥 = 𝑦 → ¬ (0 ≤ (ℜ‘-𝑦) ∧ (i · -𝑦) ∉ ℝ+)))
3317, 32pm2.65d 187 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → ¬ ¬ 𝑥 = 𝑦)
3433notnotrd 128 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → 𝑥 = 𝑦)
3534an4s 868 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → 𝑥 = 𝑦)
3635ex 450 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+)) → 𝑥 = 𝑦))
3736a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+)) → 𝑥 = 𝑦)))
3837ralrimivv 2964 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ ((((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+)) → 𝑥 = 𝑦))
39 oveq1 6611 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥↑2) = (𝑦↑2))
4039eqeq1d 2623 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥↑2) = 𝐴 ↔ (𝑦↑2) = 𝐴))
41 fveq2 6148 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘𝑦))
4241breq2d 4625 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ↔ 0 ≤ (ℜ‘𝑦)))
43 oveq2 6612 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (i · 𝑥) = (i · 𝑦))
44 neleq1 2898 . . . . 5 ((i · 𝑥) = (i · 𝑦) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))
4543, 44syl 17 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))
4640, 42, 453anbi123d 1396 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+)))
4746rmo4 3381 . 2 (∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ ((((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+)) → 𝑥 = 𝑦))
4838, 47sylibr 224 1 (𝐴 ∈ ℂ → ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790   ∉ wnel 2893  ∀wral 2907  ∃*wrmo 2910   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℂcc 9878  0cc0 9880  ici 9882   · cmul 9885   ≤ cle 10019  -cneg 10211  2c2 11014  ℝ+crp 11776  ↑cexp 12800  ℜcre 13771 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775 This theorem is referenced by:  resqreu  13927  sqrtneg  13942  sqreu  14034
 Copyright terms: Public domain W3C validator