Theorem sqrt2irrlem 15595

Description: Lemma for sqrt2irr 15596. This is the core of the proof: if 𝐴 / 𝐵 = √(2), then 𝐴 and 𝐵 are even, so 𝐴 / 2 and 𝐵 / 2 are smaller representatives, which is absurd by the method of infinite descent (here implemented by strong induction). This is Metamath 100 proof #1. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by JV, 4-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqrt2irrlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
sqrt2irrlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
sqrt2irrlem.3	⊢ (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
sqrt2irrlem	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem sqrt2irrlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 11709	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2	1	sqsqrtd 14793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((√‘2)↑2) = 2)
3		sqrt2irrlem.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))
4	3	oveq1d 7165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((√‘2)↑2) = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
5	2, 4	eqtr3d 2858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
6		sqrt2irrlem.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
8		sqrt2irrlem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
9	8	nncnd 11648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
10	8	nnne0d 11681	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
11	7, 9, 10	sqdivd 13517	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
12	5, 11	eqtrd 2856	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
13	12	oveq1d 7165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)))
14	7	sqcld 13502	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
15	8	nnsqcld 13599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
16	15	nncnd 11648	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
17	15	nnne0d 11681	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ≠ 0)
18	14, 16, 17	divcan1d 11411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
19	13, 18	eqtrd 2856	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
20	19	oveq1d 7165	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = ((𝐴↑2) / 2))
21		2ne0 11735	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
23	16, 1, 22	divcan3d 11415	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = (𝐵↑2))
24	20, 23	eqtr3d 2858	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) = (𝐵↑2))
25	24, 15	eqeltrd 2913	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℕ)
26	25	nnzd 12080	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ)
27		zesq 13581	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
28	6, 27	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
29	26, 28	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℤ)
30	1	sqvald 13501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2↑2) = (2 · 2))
31	30	oveq2d 7166	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / (2↑2)) = ((𝐴↑2) / (2 · 2)))
32	7, 1, 22	sqdivd 13517	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐴↑2) / (2↑2)))
33	14, 1, 1, 22, 22	divdiv1d 11441	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐴↑2) / (2 · 2)))
34	31, 32, 33	3eqtr4d 2866	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = (((𝐴↑2) / 2) / 2))
35	24	oveq1d 7165	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐵↑2) / 2))
36	34, 35	eqtrd 2856	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐵↑2) / 2))
37		zsqcl 13488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℤ → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
38	29, 37	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
39	36, 38	eqeltrrd 2914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ)
40	15	nnrpd 12423	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ+)
41	40	rphalfcld 12437	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℝ+)
42	41	rpgt0d 12428	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐵↑2) / 2))
43		elnnz 11985	. . . 4 ⊢ (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝐵↑2) / 2)))
44	39, 42, 43	sylanbrc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ)
45		nnesq 13582	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
46	8, 45	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
47	44, 46	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℕ)
48	29, 47	jca 514	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   class class class wbr 5059  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  0cc0 10531   · cmul 10536   < clt 10669   / cdiv 11291  ℕcn 11632  2c2 11686  ℤcz 11975  ↑cexp 13423  √csqrt 14586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589

This theorem is referenced by:  sqrt2irr  15596