MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrtcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrtcld 13967
Description: Closure of the square root function over the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
abscld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
sqrtcld (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqrtcld
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 sqrtcl 13892 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976  cfv 5787  cc 9787  csqrt 13764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-sup 8205  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-rp 11662  df-seq 12616  df-exp 12675  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767
This theorem is referenced by:  msqsqrtd  13970  pythagtriplem12  15312  pythagtriplem14  15314  pythagtriplem16  15316  tchcphlem1  22760  tchcph  22762  efif1olem3  24008  efif1olem4  24009  dvcnsqrt  24199  loglesqrt  24213  quad  24281  dcubic  24287  cubic  24290  quartlem2  24299  quartlem3  24300  quartlem4  24301  quart  24302  asinlem  24309  asinlem2  24310  asinlem3a  24311  asinlem3  24312  asinf  24313  asinneg  24327  efiasin  24329  sinasin  24330  asinbnd  24340  cosasin  24345  efiatan2  24358  cosatan  24362  cosatanne0  24363  atans2  24372  sqsscirc1  29085  dvasin  32466  dvacos  32467  areacirclem1  32470  areacirclem4  32473  areacirc  32475  pell1234qrne0  36235  pell1234qrreccl  36236  pell1234qrmulcl  36237  pell14qrgt0  36241  pell1234qrdich  36243  pell14qrdich  36251  pell1qr1  36253  rmspecsqrtnq  36288  rmspecsqrtnqOLD  36289  rmxyneg  36303  rmxyadd  36304  rmxy1  36305  rmxy0  36306  jm2.22  36380  stirlinglem3  38770  stirlinglem4  38771  stirlinglem13  38780  stirlinglem14  38781  stirlinglem15  38782  qndenserrnbllem  38991
  Copyright terms: Public domain W3C validator