Theorem sqrth 6644

Description: Square root theorem. Theorem I.35 of [Apostol] p. 29.

(A bit of trivia: This theorem was added to the database before the number 2 was defined and before exponents were defined. Thus you will see (1 + 1) and (x · x) throughout its lemmas.)

Hypothesis

Ref	Expression
sqrth.1	⊢ A ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
sqrth	⊢ (0 ≤ A → ((√ ‘A) · (√ ‘A)) = A)

Proof of Theorem sqrth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 5423	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		sqrth.1	. . 3 ⊢ A ∈ ℝ
3	1, 2	leloe 5558	. 2 ⊢ (0 ≤ A ↔ (0 < A ⋁ 0 = A))
4		fveq2 3719	. . . . . 6 ⊢ (A = if(0 < A, A, 1) → (√ ‘A) = (√ ‘ if(0 < A, A, 1)))
5	4, 4	opreq12d 3973	. . . . 5 ⊢ (A = if(0 < A, A, 1) → ((√ ‘A) · (√ ‘A)) = ((√ ‘ if(0 < A, A, 1)) · (√ ‘ if(0 < A, A, 1))))
6		id 59	. . . . 5 ⊢ (A = if(0 < A, A, 1) → A = if(0 < A, A, 1))
7	5, 6	eqeq12d 1487	. . . 4 ⊢ (A = if(0 < A, A, 1) → (((√ ‘A) · (√ ‘A)) = A ↔ ((√ ‘ if(0 < A, A, 1)) · (√ ‘ if(0 < A, A, 1))) = if(0 < A, A, 1)))
8		1re 5418	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
9	2, 8	keepel 2396	. . . . 5 ⊢ if(0 < A, A, 1) ∈ ℝ
10		elimgt0 5775	. . . . 5 ⊢ 0 < if(0 < A, A, 1)
11	9, 10	sqrlem26 6643	. . . 4 ⊢ ((√ ‘ if(0 < A, A, 1)) · (√ ‘ if(0 < A, A, 1))) = if(0 < A, A, 1)
12	7, 11	dedth 2380	. . 3 ⊢ (0 < A → ((√ ‘A) · (√ ‘A)) = A)
13		sqr0 6617	. . . . . 6 ⊢ (√ ‘0) = 0
14	13, 13	opreq12i 3968	. . . . 5 ⊢ ((√ ‘0) · (√ ‘0)) = (0 · 0)
15		0cn 5311	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
16	15	mul01 5414	. . . . 5 ⊢ (0 · 0) = 0
17	14, 16	eqtr 1493	. . . 4 ⊢ ((√ ‘0) · (√ ‘0)) = 0
18		fveq2 3719	. . . . . 6 ⊢ (0 = A → (√ ‘0) = (√ ‘A))
19	18, 18	opreq12d 3973	. . . . 5 ⊢ (0 = A → ((√ ‘0) · (√ ‘0)) = ((√ ‘A) · (√ ‘A)))
20		id 59	. . . . 5 ⊢ (0 = A → 0 = A)
21	19, 20	eqeq12d 1487	. . . 4 ⊢ (0 = A → (((√ ‘0) · (√ ‘0)) = 0 ↔ ((√ ‘A) · (√ ‘A)) = A))
22	17, 21	mpbii 193	. . 3 ⊢ (0 = A → ((√ ‘A) · (√ ‘A)) = A)
23	12, 22	jaoi 341	. 2 ⊢ ((0 < A ⋁ 0 = A) → ((√ ‘A) · (√ ‘A)) = A)
24	3, 23	sylbi 199	1 ⊢ (0 ≤ A → ((√ ‘A) · (√ ‘A)) = A)

Syntax hints:   → wi 3   ⋁ wo 222   = wceq 955   ∈ wcel 957   ifcif 2358   class class class wbr 2615   ‘cfv 3178  (class class class)co 3958  ℝcr 5216  0cc0 5217  1c1 5218   · cmul 5222   ≤ cle 5278   < clt 5469  √csqr 6614

This theorem is referenced by:  sqr11 6648  sqrmuli 6649  sqrmsq2 6651  sqrle 6652  sqrlt 6653  sqsqr 6666

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-sup 4557  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682  df-sqr 6615

Copyright terms: Public domain