Theorem sqsqrtd 14397

Description: Square root theorem. Theorem I.35 of [Apostol] p. 29. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqsqrtd	⊢ (𝜑 → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)

Proof of Theorem sqsqrtd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrtth 14323	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  ℂcc 10146  2c2 11282  ↑cexp 13074  √csqrt 14192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195

This theorem is referenced by:  msqsqrtd  14398  sqr00d  14399  sqrt2irrlem  15196  zsqrtelqelz  15688  nonsq  15689  prmreclem3  15844  nmsq  23214  cphipipcj  23220  ipcau2  23253  tchcphlem1  23254  tchcph  23256  minveclem3b  23419  efif1olem3  24510  efif1olem4  24511  cxpsqrt  24669  loglesqrt  24719  quad  24787  cubic  24796  quartlem4  24807  quart  24808  asinlem  24815  asinlem2  24816  efiatan2  24864  cosatan  24868  cosatanne0  24869  atans2  24878  chpub  25165  chtppilim  25384  rplogsumlem1  25393  dchrisum0flblem1  25417  dchrisum0flblem2  25418  dchrisum0fno1  25420  sin2h  33730  cos2h  33731  areacirclem1  33831  areacirclem5  33835  pell1234qrne0  37937  pell1234qrreccl  37938  pell1234qrmulcl  37939  pell14qrgt0  37943  pell14qrdich  37953  pell1qrgaplem  37957  pell14qrgapw  37960  pellqrex  37963  rmxyneg  38005  jm2.22  38082