MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sralmod0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sralmod0 19889
Description: The subring module inherits a zero from its ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sralmod0.a (𝜑𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
sralmod0.z (𝜑0 = (0g𝑊))
sralmod0.s (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
Assertion
Ref Expression
sralmod0 (𝜑0 = (0g𝐴))

Proof of Theorem sralmod0
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sralmod0.z . 2 (𝜑0 = (0g𝑊))
2 eqidd 2819 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
3 sralmod0.a . . . 4 (𝜑𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
4 sralmod0.s . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
53, 4srabase 19879 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘𝐴))
63, 4sraaddg 19880 . . . 4 (𝜑 → (+g𝑊) = (+g𝐴))
76oveqdr 7173 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑎(+g𝑊)𝑏) = (𝑎(+g𝐴)𝑏))
82, 5, 7grpidpropd 17860 . 2 (𝜑 → (0g𝑊) = (0g𝐴))
91, 8eqtrd 2853 1 (𝜑0 = (0g𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wss 3933  cfv 6348  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  0gc0g 16701  subringAlg csra 19869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-plusg 16566  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-0g 16703  df-sra 19873
This theorem is referenced by:  rlm0  19898  sradrng  30887  drgext0g  30891  extdg1id  30952  ccfldextdgrr  30956
  Copyright terms: Public domain W3C validator