Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srasca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srasca 19100
 Description: The set of scalars of a subring algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srapart.a (𝜑𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
Assertion
Ref Expression
srasca (𝜑 → (𝑊s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))

Proof of Theorem srasca
StepHypRef Expression
1 scaid 15935 . . . . 5 Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
2 5re 11043 . . . . . . 7 5 ∈ ℝ
3 5lt6 11148 . . . . . . 7 5 < 6
42, 3ltneii 10094 . . . . . 6 5 ≠ 6
5 scandx 15934 . . . . . . 7 (Scalar‘ndx) = 5
6 vscandx 15936 . . . . . . 7 ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
75, 6neeq12i 2856 . . . . . 6 ((Scalar‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ 5 ≠ 6)
84, 7mpbir 221 . . . . 5 (Scalar‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
91, 8setsnid 15836 . . . 4 (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩)) = (Scalar‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩))
10 5lt8 11161 . . . . . . 7 5 < 8
112, 10ltneii 10094 . . . . . 6 5 ≠ 8
12 ipndx 15943 . . . . . . 7 (·𝑖‘ndx) = 8
135, 12neeq12i 2856 . . . . . 6 ((Scalar‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 5 ≠ 8)
1411, 13mpbir 221 . . . . 5 (Scalar‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
151, 14setsnid 15836 . . . 4 (Scalar‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩)) = (Scalar‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
169, 15eqtri 2643 . . 3 (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩)) = (Scalar‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
17 ovex 6632 . . . . 5 (𝑊s 𝑆) ∈ V
1817a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑊s 𝑆) ∈ V)
191setsid 15835 . . . 4 ((𝑊 ∈ V ∧ (𝑊s 𝑆) ∈ V) → (𝑊s 𝑆) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩)))
2018, 19sylan2 491 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝑊s 𝑆) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩)))
21 srapart.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
2221adantl 482 . . . . 5 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
23 srapart.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
24 sraval 19095 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
2523, 24sylan2 491 . . . . 5 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
2622, 25eqtrd 2655 . . . 4 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
2726fveq2d 6152 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩)))
2816, 20, 273eqtr4a 2681 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝑊s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))
291str0 15832 . . 3 ∅ = (Scalar‘∅)
30 reldmress 15847 . . . . 5 Rel dom ↾s
3130ovprc1 6637 . . . 4 𝑊 ∈ V → (𝑊s 𝑆) = ∅)
3231adantr 481 . . 3 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝑊s 𝑆) = ∅)
33 fvprc 6142 . . . . . . 7 𝑊 ∈ V → (subringAlg ‘𝑊) = ∅)
3433fveq1d 6150 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (∅‘𝑆))
35 0fv 6184 . . . . . 6 (∅‘𝑆) = ∅
3634, 35syl6eq 2671 . . . . 5 𝑊 ∈ V → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = ∅)
3721, 36sylan9eqr 2677 . . . 4 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ∅)
3837fveq2d 6152 . . 3 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘∅))
3929, 32, 383eqtr4a 2681 . 2 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝑊s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))
4028, 39pm2.61ian 830 1 (𝜑 → (𝑊s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  Vcvv 3186   ⊆ wss 3555  ∅c0 3891  ⟨cop 4154  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  5c5 11017  6c6 11018  8c8 11020  ndxcnx 15778   sSet csts 15779  Basecbs 15781   ↾s cress 15782  .rcmulr 15863  Scalarcsca 15865   ·𝑠 cvsca 15866  ·𝑖cip 15867  subringAlg csra 19087 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-sets 15787  df-ress 15788  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-sra 19091 This theorem is referenced by:  sralmod  19106  rlmsca  19119  rlmsca2  19120  sraassa  19244  frlmip  20036  sranlm  22398  srabn  23064  rrxprds  23085
 Copyright terms: Public domain W3C validator