MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgbinomlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srgbinomlem2 19220
Description: Lemma 2 for srgbinomlem 19223. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgbinom.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgbinom.m × = (.r𝑅)
srgbinom.t · = (.g𝑅)
srgbinom.a + = (+g𝑅)
srgbinom.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgbinom.e = (.g𝐺)
srgbinomlem.r (𝜑𝑅 ∈ SRing)
srgbinomlem.a (𝜑𝐴𝑆)
srgbinomlem.b (𝜑𝐵𝑆)
srgbinomlem.c (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgbinomlem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
srgbinomlem2 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0𝐸 ∈ ℕ0)) → (𝐶 · ((𝐷 𝐴) × (𝐸 𝐵))) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem srgbinomlem2
StepHypRef Expression
1 srgbinomlem.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ SRing)
2 srgmnd 19188 . . . 4 (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
43adantr 481 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0𝐸 ∈ ℕ0)) → 𝑅 ∈ Mnd)
5 simpr1 1186 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0𝐸 ∈ ℕ0)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
6 srgbinom.s . . . 4 𝑆 = (Base‘𝑅)
7 srgbinom.m . . . 4 × = (.r𝑅)
8 srgbinom.t . . . 4 · = (.g𝑅)
9 srgbinom.a . . . 4 + = (+g𝑅)
10 srgbinom.g . . . 4 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
11 srgbinom.e . . . 4 = (.g𝐺)
12 srgbinomlem.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑆)
13 srgbinomlem.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑆)
14 srgbinomlem.c . . . 4 (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
15 srgbinomlem.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
166, 7, 8, 9, 10, 11, 1, 12, 13, 14, 15srgbinomlem1 19219 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0𝐸 ∈ ℕ0)) → ((𝐷 𝐴) × (𝐸 𝐵)) ∈ 𝑆)
17163adantr1 1161 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0𝐸 ∈ ℕ0)) → ((𝐷 𝐴) × (𝐸 𝐵)) ∈ 𝑆)
186, 8mulgnn0cl 18182 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐶 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐷 𝐴) × (𝐸 𝐵)) ∈ 𝑆) → (𝐶 · ((𝐷 𝐴) × (𝐸 𝐵))) ∈ 𝑆)
194, 5, 17, 18syl3anc 1363 1 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0𝐸 ∈ ℕ0)) → (𝐶 · ((𝐷 𝐴) × (𝐸 𝐵))) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  0cn0 11885  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  .rcmulr 16554  Mndcmnd 17899  .gcmg 18162  mulGrpcmgp 19168  SRingcsrg 19184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-seq 13358  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-plusg 16566  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mulg 18163  df-cmn 18837  df-mgp 19169  df-srg 19185
This theorem is referenced by:  srgbinomlem3  19221  srgbinomlem4  19222
  Copyright terms: Public domain W3C validator