MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgbinomlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srgbinomlem3 18474
Description: Lemma 3 for srgbinomlem 18476. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 27-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgbinom.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgbinom.m × = (.r𝑅)
srgbinom.t · = (.g𝑅)
srgbinom.a + = (+g𝑅)
srgbinom.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgbinom.e = (.g𝐺)
srgbinomlem.r (𝜑𝑅 ∈ SRing)
srgbinomlem.a (𝜑𝐴𝑆)
srgbinomlem.b (𝜑𝐵𝑆)
srgbinomlem.c (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgbinomlem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
srgbinomlem.i (𝜓 → (𝑁 (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
Assertion
Ref Expression
srgbinomlem3 ((𝜑𝜓) → ((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝑆,𝑘   · ,𝑘   × ,𝑘   ,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑘)   + (𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem srgbinomlem3
StepHypRef Expression
1 srgbinomlem.i . . . 4 (𝜓 → (𝑁 (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
21adantl 482 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑁 (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
32oveq1d 6625 . 2 ((𝜑𝜓) → ((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) × 𝐴))
4 srgbinom.s . . . . . 6 𝑆 = (Base‘𝑅)
5 srgbinom.a . . . . . 6 + = (+g𝑅)
6 srgbinomlem.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ SRing)
7 srgcmn 18440 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ CMnd)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
9 srgbinomlem.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
10 simpl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝜑)
11 elfzelz 12292 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
12 bccl 13057 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
139, 11, 12syl2an 494 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
14 fznn0sub 12323 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
1514adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
16 elfznn0 12382 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1716adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18 srgbinom.m . . . . . . . 8 × = (.r𝑅)
19 srgbinom.t . . . . . . . 8 · = (.g𝑅)
20 srgbinom.g . . . . . . . 8 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
21 srgbinom.e . . . . . . . 8 = (.g𝐺)
22 srgbinomlem.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑆)
23 srgbinomlem.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑆)
24 srgbinomlem.c . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
254, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9srgbinomlem2 18473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑁C𝑘) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
2610, 13, 15, 17, 25syl13anc 1325 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
274, 5, 8, 9, 26gsummptfzsplit 18264 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))))
28 srgmnd 18441 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
296, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
30 ovexd 6640 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ V)
31 id 22 . . . . . . . . 9 (𝜑𝜑)
329nn0zd 11432 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
3332peano2zd 11437 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
34 bccl 13057 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
359, 33, 34syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
369nn0cnd 11305 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
37 peano2cn 10160 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
3938subidd 10332 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) = 0)
40 0nn0 11259 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℕ0
4139, 40syl6eqel 2706 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
42 peano2nn0 11285 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
439, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
444, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9srgbinomlem2 18473 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑁C(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)) → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))) ∈ 𝑆)
4531, 35, 41, 43, 44syl13anc 1325 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))) ∈ 𝑆)
46 oveq2 6618 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑁C𝑘) = (𝑁C(𝑁 + 1)))
47 oveq2 6618 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)))
4847oveq1d 6625 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) = (((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴))
49 oveq1 6617 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑘 𝐵) = ((𝑁 + 1) 𝐵))
5048, 49oveq12d 6628 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)) = ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵)))
5146, 50oveq12d 6628 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))))
524, 51gsumsn 18286 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑁 + 1) ∈ V ∧ ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))) ∈ 𝑆) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))))
5329, 30, 45, 52syl3anc 1323 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))))
549nn0red 11304 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
5554ltp1d 10906 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 < (𝑁 + 1))
5655olcd 408 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 + 1) < 0 ∨ 𝑁 < (𝑁 + 1)))
57 bcval4 13042 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) < 0 ∨ 𝑁 < (𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
589, 33, 56, 57syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
5958oveq1d 6625 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))) = (0 · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))))
604, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9srgbinomlem1 18472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)) → ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵)) ∈ 𝑆)
6131, 41, 43, 60syl12anc 1321 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵)) ∈ 𝑆)
62 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
634, 62, 19mulg0 17478 . . . . . . . 8 (((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵)) ∈ 𝑆 → (0 · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))) = (0g𝑅))
6461, 63syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))) = (0g𝑅))
6553, 59, 643eqtrd 2659 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) = (0g𝑅))
6665oveq2d 6626 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (0g𝑅)))
67 fzfid 12720 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
68 simpl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝜑)
69 bccl2 13058 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ)
7069nnnn0d 11303 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
7170adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
72 fzelp1 12343 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
7372, 15sylan2 491 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
74 elfznn0 12382 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7574adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7668, 71, 73, 75, 25syl13anc 1325 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
7776ralrimiva 2961 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
784, 8, 67, 77gsummptcl 18298 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) ∈ 𝑆)
794, 5, 62mndrid 17244 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) ∈ 𝑆) → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (0g𝑅)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
8029, 78, 79syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (0g𝑅)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
8127, 66, 803eqtrd 2659 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
826adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑅 ∈ SRing)
8322adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴𝑆)
8423adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵𝑆)
8524adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
86 fznn0sub 12323 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
8786adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
884, 18, 20, 21, 82, 83, 84, 75, 85, 87, 19, 71srgpcomppsc 18466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) × 𝐴) = ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁𝑘) + 1) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))
8936adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
90 1cnd 10008 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
91 elfzelz 12292 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
9291zcnd 11435 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
9392adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
9489, 90, 93addsubd 10365 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁𝑘) + 1))
9594oveq1d 6625 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) = (((𝑁𝑘) + 1) 𝐴))
9695oveq1d 6625 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)) = ((((𝑁𝑘) + 1) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))
9796oveq2d 6626 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) = ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁𝑘) + 1) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))
9888, 97eqtr4d 2658 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) × 𝐴) = ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))
9998mpteq2dva 4709 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) × 𝐴)) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))
10099oveq2d 6626 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) × 𝐴))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
101 ovexd 6640 . . . . 5 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
1024, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9srgbinomlem2 18473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑁C𝑘) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
10368, 71, 87, 75, 102syl13anc 1325 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
104 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))
105 ovexd 6640 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ V)
106 fvex 6163 . . . . . . 7 (0g𝑅) ∈ V
107106a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ V)
108104, 67, 105, 107fsuppmptdm 8238 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))) finSupp (0g𝑅))
1094, 62, 5, 18, 6, 101, 22, 103, 108srgsummulcr 18469 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) × 𝐴))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) × 𝐴))
11081, 100, 1093eqtr2rd 2662 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
111110adantr 481 . 2 ((𝜑𝜓) → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
1123, 111eqtrd 2655 1 ((𝜑𝜓) → ((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3189  {csn 4153   class class class wbr 4618  cmpt 4678  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9886  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   < clt 10026  cmin 10218  0cn0 11244  cz 11329  ...cfz 12276  Ccbc 13037  Basecbs 15792  +gcplusg 15873  .rcmulr 15874  0gc0g 16032   Σg cgsu 16033  Mndcmnd 17226  .gcmg 17472  CMndccmn 18125  mulGrpcmgp 18421  SRingcsrg 18437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-fac 13009  df-bc 13038  df-hash 13066  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-mhm 17267  df-submnd 17268  df-mulg 17473  df-cntz 17682  df-cmn 18127  df-mgp 18422  df-ur 18434  df-srg 18438
This theorem is referenced by:  srgbinomlem  18476
  Copyright terms: Public domain W3C validator