Theorem srgsummulcr 18737

Description: A finite semiring sum multiplied by a constant, analogous to gsummulc1 18806. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgsummulcr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srgsummulcr.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
srgsummulcr.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
srgsummulcr.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
srgsummulcr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
srgsummulcr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
srgsummulcr.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
srgsummulcr.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
srgsummulcr.n	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
srgsummulcr	⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   · ,𝑘   𝑘,𝑌

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑅(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem srgsummulcr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgsummulcr.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		srgsummulcr.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		srgsummulcr.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
4		srgcmn 18708	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ CMnd)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
6		srgmnd 18709	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
7	3, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
8		srgsummulcr.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		srgsummulcr.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10		srgsummulcr.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11	1, 10	srgrmhm 18736	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
12	3, 9, 11	syl2anc 696	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
13		srgsummulcr.x	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14		srgsummulcr.n	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
15		oveq1 6820	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑌))
16		oveq1 6820	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) → (𝑥 · 𝑌) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌))
17	1, 2, 5, 7, 8, 12, 13, 14, 15, 16	gsummhm2 18539	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   finSupp cfsupp 8440  Basecbs 16059  +_gcplusg 16143  ._rcmulr 16144  0_gc0g 16302   Σ_g cgsu 16303  Mndcmnd 17495   MndHom cmhm 17534  CMndccmn 18393  SRingcsrg 18705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-hash 13312  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-plusg 16156  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-mgp 18690  df-srg 18706

This theorem is referenced by:  srgbinomlem3  18742  srgbinomlem4  18743