Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  srhmsubclem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srhmsubclem3 42400
 Description: Lemma 3 for srhmsubc 42401. (Contributed by AV, 19-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
srhmsubc.s 𝑟𝑆 𝑟 ∈ Ring
srhmsubc.c 𝐶 = (𝑈𝑆)
srhmsubc.j 𝐽 = (𝑟𝐶, 𝑠𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))
Assertion
Ref Expression
srhmsubclem3 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑋𝐽𝑌) = (𝑋(Hom ‘(RingCat‘𝑈))𝑌))
Distinct variable groups:   𝑆,𝑟   𝑋,𝑟   𝐶,𝑟,𝑠   𝑈,𝑟,𝑠   𝑉,𝑟,𝑠   𝑋,𝑠   𝑌,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑠)   𝐽(𝑠,𝑟)

Proof of Theorem srhmsubclem3
StepHypRef Expression
1 srhmsubc.j . . . 4 𝐽 = (𝑟𝐶, 𝑠𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))
21a1i 11 . . 3 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → 𝐽 = (𝑟𝐶, 𝑠𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠)))
3 oveq12 6699 . . . 4 ((𝑟 = 𝑋𝑠 = 𝑌) → (𝑟 RingHom 𝑠) = (𝑋 RingHom 𝑌))
43adantl 481 . . 3 (((𝑈𝑉 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) ∧ (𝑟 = 𝑋𝑠 = 𝑌)) → (𝑟 RingHom 𝑠) = (𝑋 RingHom 𝑌))
5 simpl 472 . . . 4 ((𝑋𝐶𝑌𝐶) → 𝑋𝐶)
65adantl 481 . . 3 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → 𝑋𝐶)
7 simpr 476 . . . 4 ((𝑋𝐶𝑌𝐶) → 𝑌𝐶)
87adantl 481 . . 3 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → 𝑌𝐶)
9 ovexd 6720 . . 3 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑋 RingHom 𝑌) ∈ V)
102, 4, 6, 8, 9ovmpt2d 6830 . 2 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑋𝐽𝑌) = (𝑋 RingHom 𝑌))
11 eqid 2651 . . 3 (RingCat‘𝑈) = (RingCat‘𝑈)
12 eqid 2651 . . 3 (Base‘(RingCat‘𝑈)) = (Base‘(RingCat‘𝑈))
13 simpl 472 . . 3 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → 𝑈𝑉)
14 eqid 2651 . . 3 (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = (Hom ‘(RingCat‘𝑈))
15 srhmsubc.s . . . . 5 𝑟𝑆 𝑟 ∈ Ring
16 srhmsubc.c . . . . 5 𝐶 = (𝑈𝑆)
1715, 16srhmsubclem2 42399 . . . 4 ((𝑈𝑉𝑋𝐶) → 𝑋 ∈ (Base‘(RingCat‘𝑈)))
185, 17sylan2 490 . . 3 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → 𝑋 ∈ (Base‘(RingCat‘𝑈)))
1915, 16srhmsubclem2 42399 . . . 4 ((𝑈𝑉𝑌𝐶) → 𝑌 ∈ (Base‘(RingCat‘𝑈)))
207, 19sylan2 490 . . 3 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → 𝑌 ∈ (Base‘(RingCat‘𝑈)))
2111, 12, 13, 14, 18, 20ringchom 42338 . 2 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑋(Hom ‘(RingCat‘𝑈))𝑌) = (𝑋 RingHom 𝑌))
2210, 21eqtr4d 2688 1 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑋𝐽𝑌) = (𝑋(Hom ‘(RingCat‘𝑈))𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  Vcvv 3231   ∩ cin 3606  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↦ cmpt2 6692  Basecbs 15904  Hom chom 15999  Ringcrg 18593   RingHom crh 18760  RingCatcringc 42328 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-resc 16518  df-estrc 16810  df-mhm 17382  df-ghm 17705  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-rnghom 18763  df-ringc 42330 This theorem is referenced by:  srhmsubc  42401
 Copyright terms: Public domain W3C validator