MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srngmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srngmul 18906
Description: The involution function in a star ring distributes over multiplication, with a change in the order of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
srngcl.i = (*𝑟𝑅)
srngcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
srngmul.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
srngmul ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑋 · 𝑌)) = (( 𝑌) · ( 𝑋)))

Proof of Theorem srngmul
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . . . 5 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
2 eqid 2651 . . . . 5 (*rf𝑅) = (*rf𝑅)
31, 2srngrhm 18899 . . . 4 (𝑅 ∈ *-Ring → (*rf𝑅) ∈ (𝑅 RingHom (oppr𝑅)))
4 srngcl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 srngmul.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
6 eqid 2651 . . . . 5 (.r‘(oppr𝑅)) = (.r‘(oppr𝑅))
74, 5, 6rhmmul 18775 . . . 4 (((*rf𝑅) ∈ (𝑅 RingHom (oppr𝑅)) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((*rf𝑅)‘(𝑋 · 𝑌)) = (((*rf𝑅)‘𝑋)(.r‘(oppr𝑅))((*rf𝑅)‘𝑌)))
83, 7syl3an1 1399 . . 3 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((*rf𝑅)‘(𝑋 · 𝑌)) = (((*rf𝑅)‘𝑋)(.r‘(oppr𝑅))((*rf𝑅)‘𝑌)))
94, 5, 1, 6opprmul 18672 . . 3 (((*rf𝑅)‘𝑋)(.r‘(oppr𝑅))((*rf𝑅)‘𝑌)) = (((*rf𝑅)‘𝑌) · ((*rf𝑅)‘𝑋))
108, 9syl6eq 2701 . 2 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((*rf𝑅)‘(𝑋 · 𝑌)) = (((*rf𝑅)‘𝑌) · ((*rf𝑅)‘𝑋)))
11 srngring 18900 . . . 4 (𝑅 ∈ *-Ring → 𝑅 ∈ Ring)
124, 5ringcl 18607 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
1311, 12syl3an1 1399 . . 3 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
14 srngcl.i . . . 4 = (*𝑟𝑅)
154, 14, 2stafval 18896 . . 3 ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 → ((*rf𝑅)‘(𝑋 · 𝑌)) = ( ‘(𝑋 · 𝑌)))
1613, 15syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((*rf𝑅)‘(𝑋 · 𝑌)) = ( ‘(𝑋 · 𝑌)))
174, 14, 2stafval 18896 . . . 4 (𝑌𝐵 → ((*rf𝑅)‘𝑌) = ( 𝑌))
18173ad2ant3 1104 . . 3 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((*rf𝑅)‘𝑌) = ( 𝑌))
194, 14, 2stafval 18896 . . . 4 (𝑋𝐵 → ((*rf𝑅)‘𝑋) = ( 𝑋))
20193ad2ant2 1103 . . 3 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((*rf𝑅)‘𝑋) = ( 𝑋))
2118, 20oveq12d 6708 . 2 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((*rf𝑅)‘𝑌) · ((*rf𝑅)‘𝑋)) = (( 𝑌) · ( 𝑋)))
2210, 16, 213eqtr3d 2693 1 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑋 · 𝑌)) = (( 𝑌) · ( 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  .rcmulr 15989  *𝑟cstv 15990  Ringcrg 18593  opprcoppr 18668   RingHom crh 18760  *rfcstf 18891  *-Ringcsr 18892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-ghm 17705  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-rnghom 18763  df-staf 18893  df-srng 18894
This theorem is referenced by:  ipassr  20039
  Copyright terms: Public domain W3C validator