MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssct 8001
Description: Any subset of a countable set is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
ssct ((𝐴𝐵𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)

Proof of Theorem ssct
StepHypRef Expression
1 ctex 7930 . . . 4 (𝐵 ≼ ω → 𝐵 ∈ V)
2 ssdomg 7961 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
31, 2syl 17 . . 3 (𝐵 ≼ ω → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
43impcom 446 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ≼ ω) → 𝐴𝐵)
5 domtr 7969 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
64, 5sylancom 700 1 ((𝐴𝐵𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1987  Vcvv 3190  wss 3560   class class class wbr 4623  ωcom 7027  cdom 7913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-dom 7917
This theorem is referenced by:  measvuni  30100  measiuns  30103  sxbrsigalem1  30170  ssnct  38771  fzct  39095  fzoct  39102  salexct  39889  opnvonmbllem2  40184
  Copyright terms: Public domain W3C validator