Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssdec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssdec 38783
Description: Inclusion relation for a monotonic sequence of sets. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ssdec.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
ssdec.2 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹𝑚))
Assertion
Ref Expression
ssdec (𝜑 → (𝐹𝑁) ⊆ (𝐹𝑀))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐹   𝑚,𝑀   𝑚,𝑁   𝜑,𝑚

Proof of Theorem ssdec
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssdec.1 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzel2 11644 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 eluzelz 11649 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
51, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
63, 5jca 554 . . 3 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
7 eluzle 11652 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
81, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀𝑁)
95zred 11434 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
109leidd 10546 . . . 4 (𝜑𝑁𝑁)
115, 8, 103jca 1240 . . 3 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁𝑁𝑁))
126, 11jca 554 . 2 (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁𝑁𝑁)))
13 fveq2 6153 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑀))
1413sseq1d 3616 . . . 4 (𝑛 = 𝑀 → ((𝐹𝑛) ⊆ (𝐹𝑀) ↔ (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑀)))
1514imbi2d 330 . . 3 (𝑛 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹𝑀)) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑀))))
16 fveq2 6153 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑚))
1716sseq1d 3616 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹𝑛) ⊆ (𝐹𝑀) ↔ (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹𝑀)))
1817imbi2d 330 . . 3 (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑 → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹𝑀)) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹𝑀))))
19 fveq2 6153 . . . . 5 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝐹𝑛) = (𝐹‘(𝑚 + 1)))
2019sseq1d 3616 . . . 4 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝐹𝑛) ⊆ (𝐹𝑀) ↔ (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹𝑀)))
2120imbi2d 330 . . 3 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹𝑀)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹𝑀))))
22 fveq2 6153 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑁))
2322sseq1d 3616 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → ((𝐹𝑛) ⊆ (𝐹𝑀) ↔ (𝐹𝑁) ⊆ (𝐹𝑀)))
2423imbi2d 330 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹𝑀)) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑁) ⊆ (𝐹𝑀))))
25 ssid 3608 . . . . 5 (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑀)
2625a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑀))
2726a1i 11 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑀)))
28 simpr 477 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
29 simplll 797 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑀 ∈ ℤ)
30 simplr1 1101 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ ℤ)
31 simplr2 1102 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑀𝑚)
3229, 30, 313jca 1240 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚))
33 eluz2 11645 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚))
3432, 33sylibr 224 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
35 simpllr 798 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑁 ∈ ℤ)
36 simplr3 1103 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 < 𝑁)
3734, 35, 363jca 1240 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 < 𝑁))
38 elfzo2 12422 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 < 𝑁))
3937, 38sylibr 224 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))
40 ssdec.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹𝑚))
4128, 39, 40syl2anc 692 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹𝑚))
42413adant2 1078 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ (𝜑 → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹𝑀)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹𝑚))
43 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝜑 → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹𝑀)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
44 simpl 473 . . . . . . 7 (((𝜑 → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹𝑀)) ∧ 𝜑) → (𝜑 → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹𝑀)))
45 pm3.35 610 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝜑 → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹𝑀))) → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹𝑀))
4643, 44, 45syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝜑 → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹𝑀)) ∧ 𝜑) → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹𝑀))
47463adant1 1077 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ (𝜑 → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹𝑀)) ∧ 𝜑) → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹𝑀))
4842, 47sstrd 3597 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ (𝜑 → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹𝑀)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹𝑀))
49483exp 1261 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) → ((𝜑 → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹𝑀)) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹𝑀))))
5015, 18, 21, 24, 27, 49fzind 11427 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁𝑁𝑁)) → (𝜑 → (𝐹𝑁) ⊆ (𝐹𝑀)))
5112, 50mpcom 38 1 (𝜑 → (𝐹𝑁) ⊆ (𝐹𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3559   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610  1c1 9889   + caddc 9891   < clt 10026  cle 10027  cz 11329  cuz 11639  ..^cfzo 12414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415
This theorem is referenced by:  meaiininclem  40033
  Copyright terms: Public domain W3C validator