Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sseqf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sseqf 30428
Description: A strong recursive sequence is a function over the nonnegative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sseqval.1 (𝜑𝑆 ∈ V)
sseqval.2 (𝜑𝑀 ∈ Word 𝑆)
sseqval.3 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))))
sseqval.4 (𝜑𝐹:𝑊𝑆)
Assertion
Ref Expression
sseqf (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹):ℕ0𝑆)

Proof of Theorem sseqf
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseqval.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Word 𝑆)
2 wrdf 13293 . . . 4 (𝑀 ∈ Word 𝑆𝑀:(0..^(#‘𝑀))⟶𝑆)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝑀:(0..^(#‘𝑀))⟶𝑆)
4 vex 3198 . . . . . . . . 9 𝑤 ∈ V
54a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})) → 𝑤 ∈ V)
6 fvex 6188 . . . . . . . . 9 (𝑥‘((#‘𝑥) − 1)) ∈ V
7 df-lsw 13283 . . . . . . . . 9 lastS = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘((#‘𝑥) − 1)))
86, 7dmmpti 6010 . . . . . . . 8 dom lastS = V
95, 8syl6eleqr 2710 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})) → 𝑤 ∈ dom lastS )
10 eldifsn 4308 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝑤𝑊𝑤 ≠ ∅))
11 sseqval.3 . . . . . . . . . . . 12 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))))
12 inss1 3825 . . . . . . . . . . . 12 (Word 𝑆 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀)))) ⊆ Word 𝑆
1311, 12eqsstri 3627 . . . . . . . . . . 11 𝑊 ⊆ Word 𝑆
1413sseli 3591 . . . . . . . . . 10 (𝑤𝑊𝑤 ∈ Word 𝑆)
15 lswcl 13338 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ Word 𝑆𝑤 ≠ ∅) → ( lastS ‘𝑤) ∈ 𝑆)
1614, 15sylan 488 . . . . . . . . 9 ((𝑤𝑊𝑤 ≠ ∅) → ( lastS ‘𝑤) ∈ 𝑆)
1710, 16sylbi 207 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) → ( lastS ‘𝑤) ∈ 𝑆)
1817adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})) → ( lastS ‘𝑤) ∈ 𝑆)
199, 18jca 554 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})) → (𝑤 ∈ dom lastS ∧ ( lastS ‘𝑤) ∈ 𝑆))
2019ralrimiva 2963 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})(𝑤 ∈ dom lastS ∧ ( lastS ‘𝑤) ∈ 𝑆))
216, 7fnmpti 6009 . . . . . 6 lastS Fn V
22 fnfun 5976 . . . . . 6 ( lastS Fn V → Fun lastS )
23 ffvresb 6380 . . . . . 6 (Fun lastS → (( lastS ↾ (𝑊 ∖ {∅})):(𝑊 ∖ {∅})⟶𝑆 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})(𝑤 ∈ dom lastS ∧ ( lastS ‘𝑤) ∈ 𝑆)))
2421, 22, 23mp2b 10 . . . . 5 (( lastS ↾ (𝑊 ∖ {∅})):(𝑊 ∖ {∅})⟶𝑆 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})(𝑤 ∈ dom lastS ∧ ( lastS ‘𝑤) ∈ 𝑆))
2520, 24sylibr 224 . . . 4 (𝜑 → ( lastS ↾ (𝑊 ∖ {∅})):(𝑊 ∖ {∅})⟶𝑆)
26 eqid 2620 . . . . 5 (ℤ‘(#‘𝑀)) = (ℤ‘(#‘𝑀))
27 lencl 13307 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (#‘𝑀) ∈ ℕ0)
2827nn0zd 11465 . . . . . 6 (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (#‘𝑀) ∈ ℤ)
291, 28syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝑀) ∈ ℤ)
30 ovex 6663 . . . . . . 7 (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ V
31 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → 𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
321, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘𝑀) ∈ ℕ0)
3332adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (#‘𝑀) ∈ ℕ0)
34 elnn0uz 11710 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑀) ∈ ℕ0 ↔ (#‘𝑀) ∈ (ℤ‘0))
3533, 34sylib 208 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (#‘𝑀) ∈ (ℤ‘0))
36 uztrn 11689 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)) ∧ (#‘𝑀) ∈ (ℤ‘0)) → 𝑎 ∈ (ℤ‘0))
3731, 35, 36syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → 𝑎 ∈ (ℤ‘0))
38 nn0uz 11707 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘0)
3937, 38syl6eleqr 2710 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → 𝑎 ∈ ℕ0)
40 fvconst2g 6452 . . . . . . 7 (((𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘𝑎) = (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩))
4130, 39, 40sylancr 694 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘𝑎) = (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩))
42 sseqval.4 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝑊𝑆)
43 sseqval.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 ∈ V)
4443, 1, 11, 42sseqmw 30427 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀𝑊)
4542, 44ffvelrnd 6346 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ 𝑆)
4645s1cld 13366 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ⟨“(𝐹𝑀)”⟩ ∈ Word 𝑆)
47 ccatcl 13342 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩ ∈ Word 𝑆) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ Word 𝑆)
481, 46, 47syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ Word 𝑆)
4930a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ V)
50 ccatws1len 13381 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐹𝑀) ∈ 𝑆) → (#‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)) = ((#‘𝑀) + 1))
511, 45, 50syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (#‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)) = ((#‘𝑀) + 1))
52 uzid 11687 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑀) ∈ ℤ → (#‘𝑀) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
53 peano2uz 11726 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑀) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)) → ((#‘𝑀) + 1) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
5429, 52, 533syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((#‘𝑀) + 1) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
5551, 54eqeltrd 2699 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
56 hashf 13108 . . . . . . . . . . . 12 #:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
57 ffn 6032 . . . . . . . . . . . 12 (#:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → # Fn V)
58 elpreima 6323 . . . . . . . . . . . 12 (# Fn V → ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))) ↔ ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ V ∧ (#‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))))
5956, 57, 58mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))) ↔ ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ V ∧ (#‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))))
6049, 55, 59sylanbrc 697 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))))
6148, 60elind 3790 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ (Word 𝑆 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀)))))
6261, 11syl6eleqr 2710 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ 𝑊)
6362adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ 𝑊)
641adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
6542adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → 𝐹:𝑊𝑆)
6644adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → 𝑀𝑊)
6765, 66ffvelrnd 6346 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (𝐹𝑀) ∈ 𝑆)
68 ccatws1n0 13391 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐹𝑀) ∈ 𝑆) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ≠ ∅)
6964, 67, 68syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ≠ ∅)
70 eldifsn 4308 . . . . . . 7 ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ↔ ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ 𝑊 ∧ (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ≠ ∅))
7163, 69, 70sylanbrc 697 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
7241, 71eqeltrd 2699 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘𝑎) ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
73 eqidd 2621 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)) = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)))
74 simprl 793 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) ∧ (𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏)) → 𝑥 = 𝑎)
7574fveq2d 6182 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) ∧ (𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏)) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑎))
7675s1eqd 13364 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) ∧ (𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏)) → ⟨“(𝐹𝑥)”⟩ = ⟨“(𝐹𝑎)”⟩)
7774, 76oveq12d 6653 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) ∧ (𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏)) → (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩) = (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩))
78 vex 3198 . . . . . . . 8 𝑎 ∈ V
7978a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ V)
80 vex 3198 . . . . . . . 8 𝑏 ∈ V
8180a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑏 ∈ V)
82 ovex 6663 . . . . . . . 8 (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ V
8382a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ V)
8473, 77, 79, 81, 83ovmpt2d 6773 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎(𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩))𝑏) = (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩))
85 eldifi 3724 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) → 𝑎𝑊)
8685ad2antrl 763 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎𝑊)
8713, 86sseldi 3593 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ Word 𝑆)
8842adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝐹:𝑊𝑆)
8988, 86ffvelrnd 6346 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)
9089s1cld 13366 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → ⟨“(𝐹𝑎)”⟩ ∈ Word 𝑆)
91 ccatcl 13342 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩ ∈ Word 𝑆) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ Word 𝑆)
9287, 90, 91syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ Word 𝑆)
93 ccatws1len 13381 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆) → (#‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩)) = ((#‘𝑎) + 1))
9487, 89, 93syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (#‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩)) = ((#‘𝑎) + 1))
9586, 11syl6eleq 2709 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ (Word 𝑆 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀)))))
96 elin 3788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ (Word 𝑆 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀)))) ↔ (𝑎 ∈ Word 𝑆𝑎 ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀)))))
9796simprbi 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ (Word 𝑆 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀)))) → 𝑎 ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))))
9895, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))))
99 elpreima 6323 . . . . . . . . . . . . . . 15 (# Fn V → (𝑎 ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))) ↔ (𝑎 ∈ V ∧ (#‘𝑎) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))))
10056, 57, 99mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))) ↔ (𝑎 ∈ V ∧ (#‘𝑎) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))))
10198, 100sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ∈ V ∧ (#‘𝑎) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))))
102101simprd 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (#‘𝑎) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
103 peano2uz 11726 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑎) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)) → ((#‘𝑎) + 1) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → ((#‘𝑎) + 1) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
10594, 104eqeltrd 2699 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (#‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
106 elpreima 6323 . . . . . . . . . . 11 (# Fn V → ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))) ↔ ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ V ∧ (#‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))))
10756, 57, 106mp2b 10 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))) ↔ ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ V ∧ (#‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))))
10883, 105, 107sylanbrc 697 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))))
10992, 108elind 3790 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ (Word 𝑆 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀)))))
110109, 11syl6eleqr 2710 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ 𝑊)
111 ccatws1n0 13391 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ≠ ∅)
11287, 89, 111syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ≠ ∅)
113 eldifsn 4308 . . . . . . 7 ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ↔ ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ 𝑊 ∧ (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ≠ ∅))
114110, 112, 113sylanbrc 697 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
11584, 114eqeltrd 2699 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎(𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩))𝑏) ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
11626, 29, 72, 115seqf 12805 . . . 4 (𝜑 → seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})):(ℤ‘(#‘𝑀))⟶(𝑊 ∖ {∅}))
117 fco2 6046 . . . 4 ((( lastS ↾ (𝑊 ∖ {∅})):(𝑊 ∖ {∅})⟶𝑆 ∧ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})):(ℤ‘(#‘𝑀))⟶(𝑊 ∖ {∅})) → ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))):(ℤ‘(#‘𝑀))⟶𝑆)
11825, 116, 117syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))):(ℤ‘(#‘𝑀))⟶𝑆)
119 fzouzdisj 12488 . . . 4 ((0..^(#‘𝑀)) ∩ (ℤ‘(#‘𝑀))) = ∅
120119a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((0..^(#‘𝑀)) ∩ (ℤ‘(#‘𝑀))) = ∅)
121 fun 6053 . . 3 (((𝑀:(0..^(#‘𝑀))⟶𝑆 ∧ ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))):(ℤ‘(#‘𝑀))⟶𝑆) ∧ ((0..^(#‘𝑀)) ∩ (ℤ‘(#‘𝑀))) = ∅) → (𝑀 ∪ ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))):((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(#‘𝑀)))⟶(𝑆𝑆))
1223, 118, 120, 121syl21anc 1323 . 2 (𝜑 → (𝑀 ∪ ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))):((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(#‘𝑀)))⟶(𝑆𝑆))
12343, 1, 11, 42sseqval 30424 . . 3 (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹) = (𝑀 ∪ ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))))
124 fzouzsplit 12487 . . . . . 6 ((#‘𝑀) ∈ (ℤ‘0) → (ℤ‘0) = ((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(#‘𝑀))))
12534, 124sylbi 207 . . . . 5 ((#‘𝑀) ∈ ℕ0 → (ℤ‘0) = ((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(#‘𝑀))))
1261, 27, 1253syl 18 . . . 4 (𝜑 → (ℤ‘0) = ((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(#‘𝑀))))
12738, 126syl5eq 2666 . . 3 (𝜑 → ℕ0 = ((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(#‘𝑀))))
128 unidm 3748 . . . . 5 (𝑆𝑆) = 𝑆
129128a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑆) = 𝑆)
130129eqcomd 2626 . . 3 (𝜑𝑆 = (𝑆𝑆))
131123, 127, 130feq123d 6021 . 2 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹):ℕ0𝑆 ↔ (𝑀 ∪ ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))):((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(#‘𝑀)))⟶(𝑆𝑆)))
132122, 131mpbird 247 1 (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹):ℕ0𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  wral 2909  Vcvv 3195  cdif 3564  cun 3565  cin 3566  c0 3907  {csn 4168   × cxp 5102  ccnv 5103  dom cdm 5104  cres 5106  cima 5107  ccom 5108  Fun wfun 5870   Fn wfn 5871  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  cmpt2 6637  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924  +∞cpnf 10056  cmin 10251  0cn0 11277  cz 11362  cuz 11672  ..^cfzo 12449  seqcseq 12784  #chash 13100  Word cword 13274   lastS clsw 13275   ++ cconcat 13276  ⟨“cs1 13277  seqstrcsseq 30419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-n0 11278  df-xnn0 11349  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-hash 13101  df-word 13282  df-lsw 13283  df-concat 13284  df-s1 13285  df-sseq 30420
This theorem is referenced by:  sseqp1  30431  fibp1  30437
  Copyright terms: Public domain W3C validator