Theorem sseqf 31654

Description: A strong recursive sequence is a function over the nonnegative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 7-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqval.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
sseqval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
sseqval.3	⊢ 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
sseqval.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑊⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
sseqf	⊢ (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹):ℕ0⟶𝑆)

Proof of Theorem sseqf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
2		wrdf 13869	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → 𝑀:(0..^(♯‘𝑀))⟶𝑆)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀:(0..^(♯‘𝑀))⟶𝑆)
4		vex 3500	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑤 ∈ V
5	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})) → 𝑤 ∈ V)
6		fvex 6686	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) ∈ V
7		df-lsw 13918	. . . . . . . . 9 ⊢ lastS = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)))
8	6, 7	dmmpti 6495	. . . . . . . 8 ⊢ dom lastS = V
9	5, 8	eleqtrrdi 2927	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})) → 𝑤 ∈ dom lastS)
10		eldifsn 4722	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑤 ≠ ∅))
11		sseqval.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
12		inss1 4208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))) ⊆ Word 𝑆
13	11, 12	eqsstri 4004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑊 ⊆ Word 𝑆
14	13	sseli 3966	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑊 → 𝑤 ∈ Word 𝑆)
15		lswcl 13923	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑤 ≠ ∅) → (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆)
16	14, 15	sylan 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑤 ≠ ∅) → (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆)
17	10, 16	sylbi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) → (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆)
18	17	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})) → (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆)
19	9, 18	jca 514	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})) → (𝑤 ∈ dom lastS ∧ (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆))
20	19	ralrimiva 3185	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})(𝑤 ∈ dom lastS ∧ (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆))
21	6, 7	fnmpti 6494	. . . . . 6 ⊢ lastS Fn V
22		fnfun 6456	. . . . . 6 ⊢ (lastS Fn V → Fun lastS)
23		ffvresb 6891	. . . . . 6 ⊢ (Fun lastS → ((lastS ↾ (𝑊 ∖ {∅})):(𝑊 ∖ {∅})⟶𝑆 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})(𝑤 ∈ dom lastS ∧ (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆)))
24	21, 22, 23	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ ((lastS ↾ (𝑊 ∖ {∅})):(𝑊 ∖ {∅})⟶𝑆 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})(𝑤 ∈ dom lastS ∧ (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆))
25	20, 24	sylibr 236	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lastS ↾ (𝑊 ∖ {∅})):(𝑊 ∖ {∅})⟶𝑆)
26		eqid 2824	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)) = (ℤ≥‘(♯‘𝑀))
27		lencl 13886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑀) ∈ ℕ0)
28	27	nn0zd 12088	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑀) ∈ ℤ)
29	1, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑀) ∈ ℤ)
30		ovex 7192	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ V
31		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
32	1, 27	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑀) ∈ ℕ0)
33	32	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → (♯‘𝑀) ∈ ℕ0)
34		elnn0uz 12286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘0))
35	33, 34	sylib 220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → (♯‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘0))
36		uztrn 12264	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)) ∧ (♯‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝑎 ∈ (ℤ≥‘0))
37	31, 35, 36	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → 𝑎 ∈ (ℤ≥‘0))
38		nn0uz 12283	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
39	37, 38	eleqtrrdi 2927	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → 𝑎 ∈ ℕ0)
40		fvconst2g 6967	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})‘𝑎) = (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩))
41	30, 39, 40	sylancr 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})‘𝑎) = (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩))
42		sseqval.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑊⟶𝑆)
43		sseqval.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
44	43, 1, 11, 42	sseqmw 31653	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)
45	42, 44	ffvelrnd 6855	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝑆)
46	45	s1cld 13960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩ ∈ Word 𝑆)
47		ccatcl 13929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩ ∈ Word 𝑆) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ Word 𝑆)
48	1, 46, 47	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ Word 𝑆)
49	30	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ V)
50		ccatws1len 13977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (♯‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)) = ((♯‘𝑀) + 1))
51	1, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)) = ((♯‘𝑀) + 1))
52		uzid 12261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℤ → (♯‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
53		peano2uz 12304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)) → ((♯‘𝑀) + 1) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
54	29, 52, 53	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑀) + 1) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
55	51, 54	eqeltrd 2916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
56		hashf 13701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
57		ffn 6517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
58		elpreima 6831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (♯ Fn V → ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ↔ ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ V ∧ (♯‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))))
59	56, 57, 58	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ↔ ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ V ∧ (♯‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
60	49, 55, 59	sylanbrc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
61	48, 60	elind 4174	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))))
62	61, 11	eleqtrrdi 2927	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ 𝑊)
63	62	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ 𝑊)
64		ccatws1n0 13994	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ≠ ∅)
65	1, 64	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ≠ ∅)
66	65	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ≠ ∅)
67		eldifsn 4722	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ↔ ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ 𝑊 ∧ (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ≠ ∅))
68	63, 66, 67	sylanbrc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
69	41, 68	eqeltrd 2916	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})‘𝑎) ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
70		eqidd 2825	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)) = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)))
71		simprl 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) ∧ (𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏)) → 𝑥 = 𝑎)
72	71	fveq2d 6677	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) ∧ (𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑎))
73	72	s1eqd 13958	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) ∧ (𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏)) → ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩ = ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩)
74	71, 73	oveq12d 7177	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) ∧ (𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏)) → (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩) = (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩))
75		vex 3500	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑎 ∈ V
76	75	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ V)
77		vex 3500	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑏 ∈ V
78	77	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑏 ∈ V)
79		ovex 7192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ V
80	79	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ V)
81	70, 74, 76, 78, 80	ovmpod 7305	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎(𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩))𝑏) = (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩))
82		eldifi 4106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) → 𝑎 ∈ 𝑊)
83	82	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ 𝑊)
84	13, 83	sseldi 3968	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ Word 𝑆)
85	42	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝐹:𝑊⟶𝑆)
86	85, 83	ffvelrnd 6855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝐹‘𝑎) ∈ 𝑆)
87	86	s1cld 13960	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩ ∈ Word 𝑆)
88		ccatcl 13929	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩ ∈ Word 𝑆) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ Word 𝑆)
89	84, 87, 88	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ Word 𝑆)
90	13, 82	sseldi 3968	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) → 𝑎 ∈ Word 𝑆)
91	90	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ Word 𝑆)
92		ccatws1len 13977	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ Word 𝑆 → (♯‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩)) = ((♯‘𝑎) + 1))
93	91, 92	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (♯‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩)) = ((♯‘𝑎) + 1))
94	83, 11	eleqtrdi 2926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))))
95	94	elin2d 4179	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
96		elpreima 6831	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (♯ Fn V → (𝑎 ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ↔ (𝑎 ∈ V ∧ (♯‘𝑎) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))))
97	56, 57, 96	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ↔ (𝑎 ∈ V ∧ (♯‘𝑎) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
98	95, 97	sylib 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ∈ V ∧ (♯‘𝑎) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
99		peano2uz 12304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑎) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)) → ((♯‘𝑎) + 1) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
100	98, 99	simpl2im 506	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → ((♯‘𝑎) + 1) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
101	93, 100	eqeltrd 2916	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (♯‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
102		elpreima 6831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯ Fn V → ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ↔ ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ V ∧ (♯‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))))
103	56, 57, 102	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ↔ ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ V ∧ (♯‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
104	80, 101, 103	sylanbrc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
105	89, 104	elind 4174	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))))
106	105, 11	eleqtrrdi 2927	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ 𝑊)
107		ccatws1n0 13994	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ Word 𝑆 → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ≠ ∅)
108	91, 107	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ≠ ∅)
109		eldifsn 4722	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ↔ ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ 𝑊 ∧ (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ≠ ∅))
110	106, 108, 109	sylanbrc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
111	81, 110	eqeltrd 2916	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎(𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩))𝑏) ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
112	26, 29, 69, 111	seqf 13394	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})):(ℤ≥‘(♯‘𝑀))⟶(𝑊 ∖ {∅}))
113		fco2 6536	. . . 4 ⊢ (((lastS ↾ (𝑊 ∖ {∅})):(𝑊 ∖ {∅})⟶𝑆 ∧ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})):(ℤ≥‘(♯‘𝑀))⟶(𝑊 ∖ {∅})) → (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))):(ℤ≥‘(♯‘𝑀))⟶𝑆)
114	25, 112, 113	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))):(ℤ≥‘(♯‘𝑀))⟶𝑆)
115		fzouzdisj 13076	. . . 4 ⊢ ((0..^(♯‘𝑀)) ∩ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) = ∅
116	115	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0..^(♯‘𝑀)) ∩ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) = ∅)
117		fun 6543	. . 3 ⊢ (((𝑀:(0..^(♯‘𝑀))⟶𝑆 ∧ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))):(ℤ≥‘(♯‘𝑀))⟶𝑆) ∧ ((0..^(♯‘𝑀)) ∩ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) = ∅) → (𝑀 ∪ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})))):((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))⟶(𝑆 ∪ 𝑆))
118	3, 114, 116, 117	syl21anc 835	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∪ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})))):((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))⟶(𝑆 ∪ 𝑆))
119	43, 1, 11, 42	sseqval 31650	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹) = (𝑀 ∪ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})))))
120		fzouzsplit 13075	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘0) → (ℤ≥‘0) = ((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
121	34, 120	sylbi 219	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 → (ℤ≥‘0) = ((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
122	1, 27, 121	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘0) = ((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
123	38, 122	syl5eq 2871	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ0 = ((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
124		unidm 4131	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∪ 𝑆) = 𝑆
125	124	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ 𝑆) = 𝑆)
126	125	eqcomd 2830	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑆 ∪ 𝑆))
127	119, 123, 126	feq123d 6506	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹):ℕ0⟶𝑆 ↔ (𝑀 ∪ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})))):((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))⟶(𝑆 ∪ 𝑆)))
128	118, 127	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹):ℕ0⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  ∀wral 3141  Vcvv 3497   ∖ cdif 3936   ∪ cun 3937   ∩ cin 3938  ∅c0 4294  {csn 4570   × cxp 5556  ^◡ccnv 5557  dom cdm 5558   ↾ cres 5560   “ cima 5561   ∘ ccom 5562  Fun wfun 6352   Fn wfn 6353  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159   ∈ cmpo 7161  0cc0 10540  1c1 10541   + caddc 10543  +∞cpnf 10675   − cmin 10873  ℕ₀cn0 11900  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  ..^cfzo 13036  seqcseq 13372  ♯chash 13693  Word cword 13864  lastSclsw 13917   ++ cconcat 13925  ⟨“cs1 13952  seq_strcsseq 31645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-inf2 9107  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-n0 11901  df-xnn0 11971  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-hash 13694  df-word 13865  df-lsw 13918  df-concat 13926  df-s1 13953  df-sseq 31646

This theorem is referenced by:  sseqp1  31657  fibp1  31663