Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sseqfn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sseqfn 30275
Description: A strong recursive sequence is a function over the nonnegative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sseqval.1 (𝜑𝑆 ∈ V)
sseqval.2 (𝜑𝑀 ∈ Word 𝑆)
sseqval.3 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))))
sseqval.4 (𝜑𝐹:𝑊𝑆)
Assertion
Ref Expression
sseqfn (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹) Fn ℕ0)

Proof of Theorem sseqfn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseqval.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Word 𝑆)
2 wrdfn 13274 . . . 4 (𝑀 ∈ Word 𝑆𝑀 Fn (0..^(#‘𝑀)))
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝑀 Fn (0..^(#‘𝑀)))
4 fvex 6168 . . . . . 6 (𝑥‘((#‘𝑥) − 1)) ∈ V
5 df-lsw 13255 . . . . . 6 lastS = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘((#‘𝑥) − 1)))
64, 5fnmpti 5989 . . . . 5 lastS Fn V
76a1i 11 . . . 4 (𝜑 → lastS Fn V)
8 lencl 13279 . . . . . 6 (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (#‘𝑀) ∈ ℕ0)
98nn0zd 11440 . . . . 5 (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (#‘𝑀) ∈ ℤ)
10 seqfn 12769 . . . . 5 ((#‘𝑀) ∈ ℤ → seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})) Fn (ℤ‘(#‘𝑀)))
111, 9, 103syl 18 . . . 4 (𝜑 → seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})) Fn (ℤ‘(#‘𝑀)))
12 ssv 3610 . . . . 5 ran seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})) ⊆ V
1312a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ran seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})) ⊆ V)
14 fnco 5967 . . . 4 (( lastS Fn V ∧ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})) Fn (ℤ‘(#‘𝑀)) ∧ ran seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})) ⊆ V) → ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))) Fn (ℤ‘(#‘𝑀)))
157, 11, 13, 14syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))) Fn (ℤ‘(#‘𝑀)))
16 fzouzdisj 12461 . . . 4 ((0..^(#‘𝑀)) ∩ (ℤ‘(#‘𝑀))) = ∅
1716a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((0..^(#‘𝑀)) ∩ (ℤ‘(#‘𝑀))) = ∅)
18 fnun 5965 . . 3 (((𝑀 Fn (0..^(#‘𝑀)) ∧ ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))) Fn (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ ((0..^(#‘𝑀)) ∩ (ℤ‘(#‘𝑀))) = ∅) → (𝑀 ∪ ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))) Fn ((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(#‘𝑀))))
193, 15, 17, 18syl21anc 1322 . 2 (𝜑 → (𝑀 ∪ ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))) Fn ((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(#‘𝑀))))
20 sseqval.1 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ V)
21 sseqval.3 . . . 4 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))))
22 sseqval.4 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑊𝑆)
2320, 1, 21, 22sseqval 30273 . . 3 (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹) = (𝑀 ∪ ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))))
24 nn0uz 11682 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
25 elnn0uz 11685 . . . . . 6 ((#‘𝑀) ∈ ℕ0 ↔ (#‘𝑀) ∈ (ℤ‘0))
26 fzouzsplit 12460 . . . . . 6 ((#‘𝑀) ∈ (ℤ‘0) → (ℤ‘0) = ((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(#‘𝑀))))
2725, 26sylbi 207 . . . . 5 ((#‘𝑀) ∈ ℕ0 → (ℤ‘0) = ((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(#‘𝑀))))
281, 8, 273syl 18 . . . 4 (𝜑 → (ℤ‘0) = ((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(#‘𝑀))))
2924, 28syl5eq 2667 . . 3 (𝜑 → ℕ0 = ((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(#‘𝑀))))
3023, 29fneq12d 5951 . 2 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) Fn ℕ0 ↔ (𝑀 ∪ ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))) Fn ((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(#‘𝑀)))))
3119, 30mpbird 247 1 (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹) Fn ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3190  cun 3558  cin 3559  wss 3560  c0 3897  {csn 4155   × cxp 5082  ccnv 5083  ran crn 5085  cima 5087  ccom 5088   Fn wfn 5852  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  cmpt2 6617  0cc0 9896  1c1 9897  cmin 10226  0cn0 11252  cz 11337  cuz 11647  ..^cfzo 12422  seqcseq 12757  #chash 13073  Word cword 13246   lastS clsw 13247   ++ cconcat 13248  ⟨“cs1 13249  seqstrcsseq 30268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-hash 13074  df-word 13254  df-lsw 13255  df-s1 13257  df-sseq 30269
This theorem is referenced by:  sseqfres  30278
  Copyright terms: Public domain W3C validator