Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sseqfn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sseqfn 30275
 Description: A strong recursive sequence is a function over the nonnegative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sseqval.1 (𝜑𝑆 ∈ V)
sseqval.2 (𝜑𝑀 ∈ Word 𝑆)
sseqval.3 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))))
sseqval.4 (𝜑𝐹:𝑊𝑆)
Assertion
Ref Expression
sseqfn (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹) Fn ℕ0)

Proof of Theorem sseqfn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseqval.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Word 𝑆)
2 wrdfn 13274 . . . 4 (𝑀 ∈ Word 𝑆𝑀 Fn (0..^(#‘𝑀)))
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝑀 Fn (0..^(#‘𝑀)))
4 fvex 6168 . . . . . 6 (𝑥‘((#‘𝑥) − 1)) ∈ V
5 df-lsw 13255 . . . . . 6 lastS = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘((#‘𝑥) − 1)))
64, 5fnmpti 5989 . . . . 5 lastS Fn V
76a1i 11 . . . 4 (𝜑 → lastS Fn V)
8 lencl 13279 . . . . . 6 (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (#‘𝑀) ∈ ℕ0)
98nn0zd 11440 . . . . 5 (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (#‘𝑀) ∈ ℤ)
10 seqfn 12769 . . . . 5 ((#‘𝑀) ∈ ℤ → seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})) Fn (ℤ‘(#‘𝑀)))
111, 9, 103syl 18 . . . 4 (𝜑 → seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})) Fn (ℤ‘(#‘𝑀)))
12 ssv 3610 . . . . 5 ran seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})) ⊆ V
1312a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ran seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})) ⊆ V)
14 fnco 5967 . . . 4 (( lastS Fn V ∧ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})) Fn (ℤ‘(#‘𝑀)) ∧ ran seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})) ⊆ V) → ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))) Fn (ℤ‘(#‘𝑀)))
157, 11, 13, 14syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))) Fn (ℤ‘(#‘𝑀)))
16 fzouzdisj 12461 . . . 4 ((0..^(#‘𝑀)) ∩ (ℤ‘(#‘𝑀))) = ∅
1716a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((0..^(#‘𝑀)) ∩ (ℤ‘(#‘𝑀))) = ∅)
18 fnun 5965 . . 3 (((𝑀 Fn (0..^(#‘𝑀)) ∧ ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))) Fn (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ ((0..^(#‘𝑀)) ∩ (ℤ‘(#‘𝑀))) = ∅) → (𝑀 ∪ ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))) Fn ((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(#‘𝑀))))
193, 15, 17, 18syl21anc 1322 . 2 (𝜑 → (𝑀 ∪ ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))) Fn ((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(#‘𝑀))))
20 sseqval.1 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ V)
21 sseqval.3 . . . 4 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))))
22 sseqval.4 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑊𝑆)
2320, 1, 21, 22sseqval 30273 . . 3 (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹) = (𝑀 ∪ ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))))
24 nn0uz 11682 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
25 elnn0uz 11685 . . . . . 6 ((#‘𝑀) ∈ ℕ0 ↔ (#‘𝑀) ∈ (ℤ‘0))
26 fzouzsplit 12460 . . . . . 6 ((#‘𝑀) ∈ (ℤ‘0) → (ℤ‘0) = ((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(#‘𝑀))))
2725, 26sylbi 207 . . . . 5 ((#‘𝑀) ∈ ℕ0 → (ℤ‘0) = ((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(#‘𝑀))))
281, 8, 273syl 18 . . . 4 (𝜑 → (ℤ‘0) = ((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(#‘𝑀))))
2924, 28syl5eq 2667 . . 3 (𝜑 → ℕ0 = ((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(#‘𝑀))))
3023, 29fneq12d 5951 . 2 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) Fn ℕ0 ↔ (𝑀 ∪ ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))) Fn ((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(#‘𝑀)))))
3119, 30mpbird 247 1 (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹) Fn ℕ0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3190   ∪ cun 3558   ∩ cin 3559   ⊆ wss 3560  ∅c0 3897  {csn 4155   × cxp 5082  ◡ccnv 5083  ran crn 5085   “ cima 5087   ∘ ccom 5088   Fn wfn 5852  ⟶wf 5853  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615   ↦ cmpt2 6617  0cc0 9896  1c1 9897   − cmin 10226  ℕ0cn0 11252  ℤcz 11337  ℤ≥cuz 11647  ..^cfzo 12422  seqcseq 12757  #chash 13073  Word cword 13246   lastS clsw 13247   ++ cconcat 13248  ⟨“cs1 13249  seqstrcsseq 30268 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-hash 13074  df-word 13254  df-lsw 13255  df-s1 13257  df-sseq 30269 This theorem is referenced by:  sseqfres  30278
 Copyright terms: Public domain W3C validator