Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sseqp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sseqp1 29577
Description: Value of the strong sequence builder function at a successor. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sseqval.1 (𝜑𝑆 ∈ V)
sseqval.2 (𝜑𝑀 ∈ Word 𝑆)
sseqval.3 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))))
sseqval.4 (𝜑𝐹:𝑊𝑆)
sseqfv2.4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
Assertion
Ref Expression
sseqp1 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))))

Proof of Theorem sseqp1
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑖 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseqval.1 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ V)
2 sseqval.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ Word 𝑆)
3 sseqval.3 . . 3 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))))
4 sseqval.4 . . 3 (𝜑𝐹:𝑊𝑆)
5 sseqfv2.4 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
61, 2, 3, 4, 5sseqfv2 29576 . 2 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑁) = ( lastS ‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑁)))
7 fveq2 6087 . . . . . . 7 (𝑖 = (#‘𝑀) → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(#‘𝑀)))
8 oveq2 6534 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (#‘𝑀) → (0..^𝑖) = (0..^(#‘𝑀)))
98reseq2d 5303 . . . . . . . 8 (𝑖 = (#‘𝑀) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) = ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))))
109fveq2d 6091 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (#‘𝑀) → (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖))) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀)))))
1110s1eqd 13182 . . . . . . . 8 (𝑖 = (#‘𝑀) → ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩ = ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))))”⟩)
129, 11oveq12d 6544 . . . . . . 7 (𝑖 = (#‘𝑀) → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))))”⟩))
137, 12eqeq12d 2624 . . . . . 6 (𝑖 = (#‘𝑀) → ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩) ↔ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(#‘𝑀)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))))”⟩)))
1413imbi2d 328 . . . . 5 (𝑖 = (#‘𝑀) → ((𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩)) ↔ (𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(#‘𝑀)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))))”⟩))))
15 fveq2 6087 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑛 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛))
16 oveq2 6534 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑛 → (0..^𝑖) = (0..^𝑛))
1716reseq2d 5303 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑛 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) = ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))
1817fveq2d 6091 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑛 → (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖))) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))))
1918s1eqd 13182 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑛 → ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩ = ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)
2017, 19oveq12d 6544 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑛 → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩))
2115, 20eqeq12d 2624 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑛 → ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩) ↔ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)))
2221imbi2d 328 . . . . 5 (𝑖 = 𝑛 → ((𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩)) ↔ (𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩))))
23 fveq2 6087 . . . . . . 7 (𝑖 = (𝑛 + 1) → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)))
24 oveq2 6534 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝑛 + 1) → (0..^𝑖) = (0..^(𝑛 + 1)))
2524reseq2d 5303 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝑛 + 1) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) = ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))
2625fveq2d 6091 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝑛 + 1) → (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖))) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1)))))
2726s1eqd 13182 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝑛 + 1) → ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩ = ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩)
2825, 27oveq12d 6544 . . . . . . 7 (𝑖 = (𝑛 + 1) → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩))
2923, 28eqeq12d 2624 . . . . . 6 (𝑖 = (𝑛 + 1) → ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩) ↔ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩)))
3029imbi2d 328 . . . . 5 (𝑖 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩)) ↔ (𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩))))
31 fveq2 6087 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑁 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑁))
32 oveq2 6534 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑁 → (0..^𝑖) = (0..^𝑁))
3332reseq2d 5303 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑁 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) = ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))
3433fveq2d 6091 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑁 → (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖))) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))))
3534s1eqd 13182 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑁 → ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩ = ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))”⟩)
3633, 35oveq12d 6544 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑁 → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))”⟩))
3731, 36eqeq12d 2624 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑁 → ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩) ↔ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑁) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))”⟩)))
3837imbi2d 328 . . . . 5 (𝑖 = 𝑁 → ((𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩)) ↔ (𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑁) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))”⟩))))
39 ovex 6554 . . . . . . . 8 (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ V
40 lencl 13127 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (#‘𝑀) ∈ ℕ0)
412, 40syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘𝑀) ∈ ℕ0)
42 fvconst2g 6349 . . . . . . . 8 (((𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ V ∧ (#‘𝑀) ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(#‘𝑀)) = (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩))
4339, 41, 42sylancr 693 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(#‘𝑀)) = (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩))
4440nn0zd 11314 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (#‘𝑀) ∈ ℤ)
45 seq1 12633 . . . . . . . 8 ((#‘𝑀) ∈ ℤ → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(#‘𝑀)) = ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(#‘𝑀)))
462, 44, 453syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(#‘𝑀)) = ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(#‘𝑀)))
471, 2, 3, 4sseqfres 29575 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))) = 𝑀)
4847fveq2d 6091 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀)))) = (𝐹𝑀))
4948s1eqd 13182 . . . . . . . 8 (𝜑 → ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))))”⟩ = ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)
5047, 49oveq12d 6544 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))))”⟩) = (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩))
5143, 46, 503eqtr4d 2653 . . . . . 6 (𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(#‘𝑀)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))))”⟩))
5251a1i 11 . . . . 5 ((#‘𝑀) ∈ ℤ → (𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(#‘𝑀)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))))”⟩)))
53 seqp1 12635 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)) → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛)(𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩))((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(𝑛 + 1))))
5453adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛)(𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩))((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(𝑛 + 1))))
55 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑎𝑥 = 𝑎)
56 fveq2 6087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑎 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑎))
5756s1eqd 13182 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑎 → ⟨“(𝐹𝑥)”⟩ = ⟨“(𝐹𝑎)”⟩)
5855, 57oveq12d 6544 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩) = (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩))
59 eqidd 2610 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑏 → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) = (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩))
6058, 59cbvmpt2v 6610 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)) = (𝑎 ∈ V, 𝑏 ∈ V ↦ (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩))
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)) = (𝑎 ∈ V, 𝑏 ∈ V ↦ (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩)))
62 simprl 789 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (𝑎 = (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ∧ 𝑏 = ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(𝑛 + 1)))) → 𝑎 = (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛))
6362fveq2d 6091 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (𝑎 = (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ∧ 𝑏 = ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(𝑛 + 1)))) → (𝐹𝑎) = (𝐹‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛)))
6463s1eqd 13182 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (𝑎 = (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ∧ 𝑏 = ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(𝑛 + 1)))) → ⟨“(𝐹𝑎)”⟩ = ⟨“(𝐹‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛))”⟩)
6562, 64oveq12d 6544 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (𝑎 = (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ∧ 𝑏 = ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(𝑛 + 1)))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) = ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ++ ⟨“(𝐹‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛))”⟩))
66 fvex 6097 . . . . . . . . . . . . 13 (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ∈ V
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ∈ V)
68 fvex 6097 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(𝑛 + 1)) ∈ V
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(𝑛 + 1)) ∈ V)
70 ovex 6554 . . . . . . . . . . . . 13 ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ++ ⟨“(𝐹‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛))”⟩) ∈ V
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ++ ⟨“(𝐹‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛))”⟩) ∈ V)
7261, 65, 67, 69, 71ovmpt2d 6663 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛)(𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩))((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(𝑛 + 1))) = ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ++ ⟨“(𝐹‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛))”⟩))
7354, 72eqtrd 2643 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ++ ⟨“(𝐹‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛))”⟩))
7473adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ++ ⟨“(𝐹‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛))”⟩))
751adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → 𝑆 ∈ V)
762adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
774adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → 𝐹:𝑊𝑆)
78 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
7975, 76, 3, 77, 78sseqfv2 29576 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑛) = ( lastS ‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛)))
8079adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑛) = ( lastS ‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛)))
81 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩))
8281fveq2d 6091 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → ( lastS ‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛)) = ( lastS ‘(((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)))
831, 2, 3, 4sseqf 29574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹):ℕ0𝑆)
84 fzo0ssnn0 12372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0..^𝑛) ⊆ ℕ0
85 fssres 5967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀seqstr𝐹):ℕ0𝑆 ∧ (0..^𝑛) ⊆ ℕ0) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)):(0..^𝑛)⟶𝑆)
8683, 84, 85sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)):(0..^𝑛)⟶𝑆)
87 iswrdi 13112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)):(0..^𝑛)⟶𝑆 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ Word 𝑆)
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ Word 𝑆)
8988adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ Word 𝑆)
90 elex 3184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ Word 𝑆 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ V)
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ V)
9283adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (𝑀seqstr𝐹):ℕ0𝑆)
93 eluznn0 11591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((#‘𝑀) ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
9441, 93sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
9575, 92, 94subiwrdlen 29568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (#‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))) = 𝑛)
9695, 78eqeltrd 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (#‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
97 hashf 12943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 #:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
98 ffn 5943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (#:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → # Fn V)
99 elpreima 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (# Fn V → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))) ↔ (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ V ∧ (#‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))))
10097, 98, 99mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))) ↔ (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ V ∧ (#‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))))
10191, 96, 100sylanbrc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))))
10289, 101elind 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ (Word 𝑆 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀)))))
103102, 3syl6eleqr 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ 𝑊)
10477, 103ffvelrnd 6252 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))) ∈ 𝑆)
105 lswccats1 13211 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))) ∈ 𝑆) → ( lastS ‘(((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))))
10689, 104, 105syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ( lastS ‘(((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))))
107106adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → ( lastS ‘(((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))))
10880, 82, 1073eqtrrd 2648 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))) = ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑛))
109108s1eqd 13182 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩ = ⟨“((𝑀seqstr𝐹)‘𝑛)”⟩)
110109oveq2d 6542 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“((𝑀seqstr𝐹)‘𝑛)”⟩))
11175, 92, 94iwrdsplit 29569 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“((𝑀seqstr𝐹)‘𝑛)”⟩))
112111adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“((𝑀seqstr𝐹)‘𝑛)”⟩))
113110, 81, 1123eqtr4d 2653 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))
114113fveq2d 6091 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → (𝐹‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛)) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1)))))
115114s1eqd 13182 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → ⟨“(𝐹‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛))”⟩ = ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩)
116113, 115oveq12d 6544 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ++ ⟨“(𝐹‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛))”⟩) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩))
11774, 116eqtrd 2643 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩))
118117ex 448 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩) → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩)))
119118expcom 449 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)) → (𝜑 → ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩) → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩))))
120119a2d 29 . . . . 5 (𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)) → ((𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → (𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩))))
12114, 22, 30, 38, 52, 120uzind4 11580 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)) → (𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑁) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))”⟩)))
1225, 121mpcom 37 . . 3 (𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑁) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))”⟩))
123122fveq2d 6091 . 2 (𝜑 → ( lastS ‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑁)) = ( lastS ‘(((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))”⟩)))
124 fzo0ssnn0 12372 . . . . 5 (0..^𝑁) ⊆ ℕ0
125 fssres 5967 . . . . 5 (((𝑀seqstr𝐹):ℕ0𝑆 ∧ (0..^𝑁) ⊆ ℕ0) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)⟶𝑆)
12683, 124, 125sylancl 692 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)⟶𝑆)
127 iswrdi 13112 . . . 4 (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)⟶𝑆 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑆)
128126, 127syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑆)
129 elex 3184 . . . . . . . 8 (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑆 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ V)
130128, 129syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ V)
131 eluznn0 11591 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
13241, 5, 131syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1331, 83, 132subiwrdlen 29568 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))) = 𝑁)
134133, 5eqeltrd 2687 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
135 elpreima 6229 . . . . . . . 8 (# Fn V → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))) ↔ (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ V ∧ (#‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))))
13697, 98, 135mp2b 10 . . . . . . 7 (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))) ↔ (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ V ∧ (#‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))))
137130, 134, 136sylanbrc 694 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))))
138128, 137elind 3759 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ (Word 𝑆 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀)))))
139138, 3syl6eleqr 2698 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ 𝑊)
1404, 139ffvelrnd 6252 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))) ∈ 𝑆)
141 lswccats1 13211 . . 3 ((((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))) ∈ 𝑆) → ( lastS ‘(((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))”⟩)) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))))
142128, 140, 141syl2anc 690 . 2 (𝜑 → ( lastS ‘(((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))”⟩)) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))))
1436, 123, 1423eqtrd 2647 1 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172  cun 3537  cin 3538  wss 3539  {csn 4124   × cxp 5025  ccnv 5026  cres 5029  cima 5030   Fn wfn 5784  wf 5785  cfv 5789  (class class class)co 6526  cmpt2 6528  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795  +∞cpnf 9927  0cn0 11141  cz 11212  cuz 11521  ..^cfzo 12291  seqcseq 12620  #chash 12936  Word cword 13094   lastS clsw 13095   ++ cconcat 13096  ⟨“cs1 13097  seqstrcsseq 29565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-rp 11667  df-fz 12155  df-fzo 12292  df-seq 12621  df-hash 12937  df-word 13102  df-lsw 13103  df-concat 13104  df-s1 13105  df-substr 13106  df-sseq 29566
This theorem is referenced by:  fibp1  29583
  Copyright terms: Public domain W3C validator