Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sseqp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sseqp1 30585
Description: Value of the strong sequence builder function at a successor. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sseqval.1 (𝜑𝑆 ∈ V)
sseqval.2 (𝜑𝑀 ∈ Word 𝑆)
sseqval.3 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))))
sseqval.4 (𝜑𝐹:𝑊𝑆)
sseqfv2.4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
Assertion
Ref Expression
sseqp1 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))))

Proof of Theorem sseqp1
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑖 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseqval.1 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ V)
2 sseqval.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ Word 𝑆)
3 sseqval.3 . . 3 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))))
4 sseqval.4 . . 3 (𝜑𝐹:𝑊𝑆)
5 sseqfv2.4 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
61, 2, 3, 4, 5sseqfv2 30584 . 2 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑁) = ( lastS ‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑁)))
7 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑖 = (#‘𝑀) → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(#‘𝑀)))
8 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (#‘𝑀) → (0..^𝑖) = (0..^(#‘𝑀)))
98reseq2d 5428 . . . . . . . 8 (𝑖 = (#‘𝑀) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) = ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))))
109fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (#‘𝑀) → (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖))) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀)))))
1110s1eqd 13417 . . . . . . . 8 (𝑖 = (#‘𝑀) → ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩ = ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))))”⟩)
129, 11oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝑖 = (#‘𝑀) → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))))”⟩))
137, 12eqeq12d 2666 . . . . . 6 (𝑖 = (#‘𝑀) → ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩) ↔ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(#‘𝑀)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))))”⟩)))
1413imbi2d 329 . . . . 5 (𝑖 = (#‘𝑀) → ((𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩)) ↔ (𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(#‘𝑀)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))))”⟩))))
15 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑛 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛))
16 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑛 → (0..^𝑖) = (0..^𝑛))
1716reseq2d 5428 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑛 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) = ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))
1817fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑛 → (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖))) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))))
1918s1eqd 13417 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑛 → ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩ = ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)
2017, 19oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑛 → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩))
2115, 20eqeq12d 2666 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑛 → ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩) ↔ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)))
2221imbi2d 329 . . . . 5 (𝑖 = 𝑛 → ((𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩)) ↔ (𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩))))
23 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑖 = (𝑛 + 1) → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)))
24 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝑛 + 1) → (0..^𝑖) = (0..^(𝑛 + 1)))
2524reseq2d 5428 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝑛 + 1) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) = ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))
2625fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝑛 + 1) → (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖))) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1)))))
2726s1eqd 13417 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝑛 + 1) → ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩ = ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩)
2825, 27oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝑖 = (𝑛 + 1) → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩))
2923, 28eqeq12d 2666 . . . . . 6 (𝑖 = (𝑛 + 1) → ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩) ↔ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩)))
3029imbi2d 329 . . . . 5 (𝑖 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩)) ↔ (𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩))))
31 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑁 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑁))
32 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑁 → (0..^𝑖) = (0..^𝑁))
3332reseq2d 5428 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑁 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) = ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))
3433fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑁 → (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖))) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))))
3534s1eqd 13417 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑁 → ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩ = ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))”⟩)
3633, 35oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑁 → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))”⟩))
3731, 36eqeq12d 2666 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑁 → ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩) ↔ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑁) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))”⟩)))
3837imbi2d 329 . . . . 5 (𝑖 = 𝑁 → ((𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩)) ↔ (𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑁) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))”⟩))))
39 ovex 6718 . . . . . . . 8 (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ V
40 lencl 13356 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (#‘𝑀) ∈ ℕ0)
412, 40syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘𝑀) ∈ ℕ0)
42 fvconst2g 6508 . . . . . . . 8 (((𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ V ∧ (#‘𝑀) ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(#‘𝑀)) = (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩))
4339, 41, 42sylancr 696 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(#‘𝑀)) = (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩))
4440nn0zd 11518 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (#‘𝑀) ∈ ℤ)
45 seq1 12854 . . . . . . . 8 ((#‘𝑀) ∈ ℤ → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(#‘𝑀)) = ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(#‘𝑀)))
462, 44, 453syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(#‘𝑀)) = ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(#‘𝑀)))
471, 2, 3, 4sseqfres 30583 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))) = 𝑀)
4847fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀)))) = (𝐹𝑀))
4948s1eqd 13417 . . . . . . . 8 (𝜑 → ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))))”⟩ = ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)
5047, 49oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))))”⟩) = (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩))
5143, 46, 503eqtr4d 2695 . . . . . 6 (𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(#‘𝑀)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))))”⟩))
5251a1i 11 . . . . 5 ((#‘𝑀) ∈ ℤ → (𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(#‘𝑀)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))))”⟩)))
53 seqp1 12856 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)) → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛)(𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩))((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(𝑛 + 1))))
5453adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛)(𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩))((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(𝑛 + 1))))
55 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑎𝑥 = 𝑎)
56 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑎 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑎))
5756s1eqd 13417 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑎 → ⟨“(𝐹𝑥)”⟩ = ⟨“(𝐹𝑎)”⟩)
5855, 57oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩) = (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩))
59 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑏 → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) = (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩))
6058, 59cbvmpt2v 6777 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)) = (𝑎 ∈ V, 𝑏 ∈ V ↦ (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩))
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)) = (𝑎 ∈ V, 𝑏 ∈ V ↦ (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩)))
62 simprl 809 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (𝑎 = (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ∧ 𝑏 = ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(𝑛 + 1)))) → 𝑎 = (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛))
6362fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (𝑎 = (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ∧ 𝑏 = ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(𝑛 + 1)))) → (𝐹𝑎) = (𝐹‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛)))
6463s1eqd 13417 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (𝑎 = (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ∧ 𝑏 = ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(𝑛 + 1)))) → ⟨“(𝐹𝑎)”⟩ = ⟨“(𝐹‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛))”⟩)
6562, 64oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (𝑎 = (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ∧ 𝑏 = ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(𝑛 + 1)))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) = ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ++ ⟨“(𝐹‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛))”⟩))
66 fvexd 6241 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ∈ V)
67 fvexd 6241 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(𝑛 + 1)) ∈ V)
68 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . 13 ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ++ ⟨“(𝐹‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛))”⟩) ∈ V
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ++ ⟨“(𝐹‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛))”⟩) ∈ V)
7061, 65, 66, 67, 69ovmpt2d 6830 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛)(𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩))((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(𝑛 + 1))) = ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ++ ⟨“(𝐹‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛))”⟩))
7154, 70eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ++ ⟨“(𝐹‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛))”⟩))
7271adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ++ ⟨“(𝐹‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛))”⟩))
731adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → 𝑆 ∈ V)
742adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
754adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → 𝐹:𝑊𝑆)
76 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
7773, 74, 3, 75, 76sseqfv2 30584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑛) = ( lastS ‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛)))
7877adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑛) = ( lastS ‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛)))
79 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩))
8079fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → ( lastS ‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛)) = ( lastS ‘(((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)))
811, 2, 3, 4sseqf 30582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹):ℕ0𝑆)
82 fzo0ssnn0 12588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0..^𝑛) ⊆ ℕ0
83 fssres 6108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀seqstr𝐹):ℕ0𝑆 ∧ (0..^𝑛) ⊆ ℕ0) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)):(0..^𝑛)⟶𝑆)
8481, 82, 83sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)):(0..^𝑛)⟶𝑆)
85 iswrdi 13341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)):(0..^𝑛)⟶𝑆 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ Word 𝑆)
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ Word 𝑆)
8786adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ Word 𝑆)
88 elex 3243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ Word 𝑆 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ V)
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ V)
9081adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (𝑀seqstr𝐹):ℕ0𝑆)
91 eluznn0 11795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((#‘𝑀) ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
9241, 91sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
9373, 90, 92subiwrdlen 30576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (#‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))) = 𝑛)
9493, 76eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (#‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
95 hashf 13165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 #:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
96 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (#:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → # Fn V)
97 elpreima 6377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (# Fn V → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))) ↔ (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ V ∧ (#‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))))
9895, 96, 97mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))) ↔ (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ V ∧ (#‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))))
9989, 94, 98sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))))
10087, 99elind 3831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ (Word 𝑆 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀)))))
101100, 3syl6eleqr 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ 𝑊)
10275, 101ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))) ∈ 𝑆)
103 lswccats1 13456 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))) ∈ 𝑆) → ( lastS ‘(((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))))
10487, 102, 103syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ( lastS ‘(((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))))
105104adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → ( lastS ‘(((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))))
10678, 80, 1053eqtrrd 2690 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))) = ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑛))
107106s1eqd 13417 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩ = ⟨“((𝑀seqstr𝐹)‘𝑛)”⟩)
108107oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“((𝑀seqstr𝐹)‘𝑛)”⟩))
10973, 90, 92iwrdsplit 30577 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“((𝑀seqstr𝐹)‘𝑛)”⟩))
110109adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“((𝑀seqstr𝐹)‘𝑛)”⟩))
111108, 79, 1103eqtr4d 2695 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))
112111fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → (𝐹‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛)) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1)))))
113112s1eqd 13417 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → ⟨“(𝐹‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛))”⟩ = ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩)
114111, 113oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ++ ⟨“(𝐹‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛))”⟩) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩))
11572, 114eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩))
116115ex 449 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩) → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩)))
117116expcom 450 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)) → (𝜑 → ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩) → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩))))
118117a2d 29 . . . . 5 (𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)) → ((𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → (𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩))))
11914, 22, 30, 38, 52, 118uzind4 11784 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)) → (𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑁) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))”⟩)))
1205, 119mpcom 38 . . 3 (𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑁) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))”⟩))
121120fveq2d 6233 . 2 (𝜑 → ( lastS ‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑁)) = ( lastS ‘(((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))”⟩)))
122 fzo0ssnn0 12588 . . . . 5 (0..^𝑁) ⊆ ℕ0
123 fssres 6108 . . . . 5 (((𝑀seqstr𝐹):ℕ0𝑆 ∧ (0..^𝑁) ⊆ ℕ0) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)⟶𝑆)
12481, 122, 123sylancl 695 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)⟶𝑆)
125 iswrdi 13341 . . . 4 (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)⟶𝑆 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑆)
126124, 125syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑆)
127 elex 3243 . . . . . . . 8 (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑆 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ V)
128126, 127syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ V)
129 eluznn0 11795 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
13041, 5, 129syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1311, 81, 130subiwrdlen 30576 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))) = 𝑁)
132131, 5eqeltrd 2730 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
133 elpreima 6377 . . . . . . . 8 (# Fn V → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))) ↔ (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ V ∧ (#‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))))
13495, 96, 133mp2b 10 . . . . . . 7 (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))) ↔ (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ V ∧ (#‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))))
135128, 132, 134sylanbrc 699 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))))
136126, 135elind 3831 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ (Word 𝑆 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀)))))
137136, 3syl6eleqr 2741 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ 𝑊)
1384, 137ffvelrnd 6400 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))) ∈ 𝑆)
139 lswccats1 13456 . . 3 ((((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))) ∈ 𝑆) → ( lastS ‘(((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))”⟩)) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))))
140126, 138, 139syl2anc 694 . 2 (𝜑 → ( lastS ‘(((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))”⟩)) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))))
1416, 121, 1403eqtrd 2689 1 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  cun 3605  cin 3606  wss 3607  {csn 4210   × cxp 5141  ccnv 5142  cres 5145  cima 5146   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cmpt2 6692  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  +∞cpnf 10109  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  ..^cfzo 12504  seqcseq 12841  #chash 13157  Word cword 13323   lastS clsw 13324   ++ cconcat 13325  ⟨“cs1 13326  seqstrcsseq 30573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-word 13331  df-lsw 13332  df-concat 13333  df-s1 13334  df-substr 13335  df-sseq 30574
This theorem is referenced by:  fibp1  30591
  Copyright terms: Public domain W3C validator