MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssfii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssfii 8277
Description: Any element of a set 𝐴 is the intersection of a finite subset of 𝐴. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssfii (𝐴𝑉𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))

Proof of Theorem ssfii
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3192 . . . . 5 𝑥 ∈ V
21intsn 4483 . . . 4 {𝑥} = 𝑥
3 simpl 473 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑥𝐴) → 𝐴𝑉)
4 simpr 477 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
54snssd 4314 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑥𝐴) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
61snnz 4284 . . . . . 6 {𝑥} ≠ ∅
76a1i 11 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑥𝐴) → {𝑥} ≠ ∅)
8 snfi 7990 . . . . . 6 {𝑥} ∈ Fin
98a1i 11 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑥𝐴) → {𝑥} ∈ Fin)
10 elfir 8273 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ({𝑥} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑥} ≠ ∅ ∧ {𝑥} ∈ Fin)) → {𝑥} ∈ (fi‘𝐴))
113, 5, 7, 9, 10syl13anc 1325 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑥𝐴) → {𝑥} ∈ (fi‘𝐴))
122, 11syl5eqelr 2703 . . 3 ((𝐴𝑉𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘𝐴))
1312ex 450 . 2 (𝐴𝑉 → (𝑥𝐴𝑥 ∈ (fi‘𝐴)))
1413ssrdv 3593 1 (𝐴𝑉𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1987  wne 2790  wss 3559  c0 3896  {csn 4153   cint 4445  cfv 5852  Fincfn 7907  ficfi 8268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-om 7020  df-1o 7512  df-en 7908  df-fin 7911  df-fi 8269
This theorem is referenced by:  fieq0  8279  dffi2  8281  inficl  8283  fiuni  8286  dffi3  8289  inffien  8838  fictb  9019  ordtbas2  20918  ordtbas  20919  ordtopn1  20921  ordtopn2  20922  leordtval2  20939  subbascn  20981  2ndcsb  21175  ptbasfi  21307  xkoopn  21315  fsubbas  21594  fbunfip  21596  isufil2  21635  ufileu  21646  filufint  21647  fmfnfmlem4  21684  fmfnfm  21685  hausflim  21708  flimclslem  21711  fclsfnflim  21754  flimfnfcls  21755  fclscmp  21757  alexsubb  21773  alexsubALTlem4  21777  ordtconnlem1  29776  topjoin  32037
  Copyright terms: Public domain W3C validator