Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssfz12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssfz12 41087
Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
ssfz12 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝑀𝐾𝐿𝑁)))

Proof of Theorem ssfz12
StepHypRef Expression
1 eluz 11686 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ∈ (ℤ𝐾) ↔ 𝐾𝐿))
21biimp3ar 1431 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → 𝐿 ∈ (ℤ𝐾))
3 eluzfz1 12333 . . 3 (𝐿 ∈ (ℤ𝐾) → 𝐾 ∈ (𝐾...𝐿))
42, 3syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → 𝐾 ∈ (𝐾...𝐿))
5 eluzfz2 12334 . . . 4 (𝐿 ∈ (ℤ𝐾) → 𝐿 ∈ (𝐾...𝐿))
62, 5syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → 𝐿 ∈ (𝐾...𝐿))
7 ssel2 3590 . . . . . . . 8 (((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝐾...𝐿)) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
8 ssel2 3590 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝐿)) → 𝐿 ∈ (𝑀...𝑁))
9 elfzuz3 12324 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐿))
10 eluz2 11678 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾))
11 eluz2 11678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ𝐿) ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁))
12 pm3.21 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐿𝑁 → (𝑀𝐾 → (𝑀𝐾𝐿𝑁)))
13123ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → (𝑀𝐾 → (𝑀𝐾𝐿𝑁)))
1411, 13sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ𝐿) → (𝑀𝐾 → (𝑀𝐾𝐿𝑁)))
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → (𝑁 ∈ (ℤ𝐿) → (𝑀𝐾 → (𝑀𝐾𝐿𝑁))))
1615com13 88 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀𝐾 → (𝑁 ∈ (ℤ𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → (𝑀𝐾𝐿𝑁))))
17163ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾) → (𝑁 ∈ (ℤ𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → (𝑀𝐾𝐿𝑁))))
1810, 17sylbi 207 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 ∈ (ℤ𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → (𝑀𝐾𝐿𝑁))))
19 elfzuz 12323 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
2018, 19syl11 33 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ𝐿) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → (𝑀𝐾𝐿𝑁))))
218, 9, 203syl 18 . . . . . . . . . 10 (((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝐿)) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → (𝑀𝐾𝐿𝑁))))
2221ex 450 . . . . . . . . 9 ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → (𝑀𝐾𝐿𝑁)))))
2322com4t 93 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝑀𝐾𝐿𝑁)))))
247, 23syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝐾...𝐿)) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝑀𝐾𝐿𝑁)))))
2524ex 450 . . . . . 6 ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝐾...𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝑀𝐾𝐿𝑁))))))
2625com24 95 . . . . 5 ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → (𝐾 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝑀𝐾𝐿𝑁))))))
2726pm2.43i 52 . . . 4 ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → (𝐾 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝑀𝐾𝐿𝑁)))))
2827com14 96 . . 3 (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → (𝐾 ∈ (𝐾...𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝑀𝐾𝐿𝑁)))))
296, 28mpcom 38 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → (𝐾 ∈ (𝐾...𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝑀𝐾𝐿𝑁))))
304, 29mpd 15 1 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝑀𝐾𝐿𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036  wcel 1988  wss 3567   class class class wbr 4644  cfv 5876  (class class class)co 6635  cle 10060  cz 11362  cuz 11672  ...cfz 12311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-pre-lttri 9995
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-neg 10254  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator