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Theorem ssfzunsnext 12383
Description: A subset of a finite sequence of integers extended by an integer is a subset of a (possibly extended) finite sequence of integers. (Contributed by AV, 13-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
ssfzunsnext ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (𝑆 ∪ {𝐼}) ⊆ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))

Proof of Theorem ssfzunsnext
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → 𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁))
2 simp3 1062 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ ℤ)
3 simp1 1060 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
42, 3ifcld 4129 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ∈ ℤ)
54adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ∈ ℤ)
6 elfzelz 12339 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
76adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
84zred 11479 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ∈ ℝ)
98adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ∈ ℝ)
10 zre 11378 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
11103ad2ant1 1081 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
1211adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
136zred 11479 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℝ)
1413adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
15 zre 11378 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ)
1610, 15anim12i 590 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ))
1716ancomd 467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
18173adant2 1079 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
1918adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
20 min2 12018 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ≤ 𝑀)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ≤ 𝑀)
22 elfzle1 12341 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝑘)
2322adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀𝑘)
249, 12, 14, 21, 23letrd 10191 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ≤ 𝑘)
25 eluz2 11690 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)) ↔ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ≤ 𝑘))
265, 7, 24, 25syl3anbrc 1245 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)))
27 simp2 1061 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
2827, 2ifcld 4129 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℤ)
2928adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℤ)
30 zre 11378 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
31303ad2ant2 1082 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
3231adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
3328zred 11479 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℝ)
3433adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℝ)
35 elfzle2 12342 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘𝑁)
3635adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘𝑁)
3730, 15anim12i 590 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ))
38373adant1 1078 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ))
3938ancomd 467 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
40 max2 12015 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑁 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))
4241adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))
4314, 32, 34, 36, 42letrd 10191 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))
44 eluz2 11690 . . . . . . . 8 (if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ (ℤ𝑘) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
457, 29, 43, 44syl3anbrc 1245 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ (ℤ𝑘))
46 elfzuzb 12333 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)) ∧ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ (ℤ𝑘)))
4726, 45, 46sylanbrc 698 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
4847ex 450 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))))
4948ssrdv 3607 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ⊆ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
5049adantl 482 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (𝑀...𝑁) ⊆ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
511, 50sstrd 3611 . 2 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → 𝑆 ⊆ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
524adantl 482 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ∈ ℤ)
5328adantl 482 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℤ)
542adantl 482 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → 𝐼 ∈ ℤ)
5552, 53, 543jca 1241 . . . 4 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ∈ ℤ ∧ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ))
56163adant2 1079 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ))
5756adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ))
5857ancomd 467 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
59 min1 12017 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ≤ 𝐼)
6058, 59syl 17 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ≤ 𝐼)
6138adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ))
6261ancomd 467 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
63 max1 12013 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝐼 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))
6462, 63syl 17 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → 𝐼 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))
6560, 64jca 554 . . . 4 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ≤ 𝐼𝐼 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
66 elfz2 12330 . . . 4 (𝐼 ∈ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)) ↔ ((if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ∈ ℤ ∧ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ≤ 𝐼𝐼 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))))
6755, 65, 66sylanbrc 698 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → 𝐼 ∈ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
6867snssd 4338 . 2 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → {𝐼} ⊆ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
6951, 68unssd 3787 1 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (𝑆 ∪ {𝐼}) ⊆ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1037  wcel 1989  cun 3570  wss 3572  ifcif 4084  {csn 4175   class class class wbr 4651  cfv 5886  (class class class)co 6647  cr 9932  cle 10072  cz 11374  cuz 11684  ...cfz 12323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-po 5033  df-so 5034  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-neg 10266  df-z 11375  df-uz 11685  df-fz 12324
This theorem is referenced by:  ssfzunsn  12384  setsstruct2  15890
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