HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  sshhococi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sshhococi 28272
Description: The join of two Hilbert space subsets (not necessarily closed subspaces) equals the join of their closures (double orthocomplements). (Contributed by NM, 1-Jun-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sshjococ.1 𝐴 ⊆ ℋ
sshjococ.2 𝐵 ⊆ ℋ
Assertion
Ref Expression
sshhococi (𝐴 𝐵) = ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ (⊥‘(⊥‘𝐵)))

Proof of Theorem sshhococi
StepHypRef Expression
1 sshjococ.1 . . . . . 6 𝐴 ⊆ ℋ
2 ococss 28019 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))
4 sshjococ.2 . . . . . 6 𝐵 ⊆ ℋ
5 ococss 28019 . . . . . 6 (𝐵 ⊆ ℋ → 𝐵 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 𝐵 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵))
7 unss12 3768 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∧ 𝐵 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵))) → (𝐴𝐵) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵))))
83, 6, 7mp2an 707 . . . 4 (𝐴𝐵) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
91, 4unssi 3771 . . . . 5 (𝐴𝐵) ⊆ ℋ
10 occl 28030 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ C )
111, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8 (⊥‘𝐴) ∈ C
1211choccli 28033 . . . . . . 7 (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ C
1312chssii 27955 . . . . . 6 (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ
14 occl 28030 . . . . . . . . 9 (𝐵 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐵) ∈ C )
154, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8 (⊥‘𝐵) ∈ C
1615choccli 28033 . . . . . . 7 (⊥‘(⊥‘𝐵)) ∈ C
1716chssii 27955 . . . . . 6 (⊥‘(⊥‘𝐵)) ⊆ ℋ
1813, 17unssi 3771 . . . . 5 ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵))) ⊆ ℋ
199, 18occon2i 28015 . . . 4 ((𝐴𝐵) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵))) → (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐵))) ⊆ (⊥‘(⊥‘((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵))))))
208, 19ax-mp 5 . . 3 (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐵))) ⊆ (⊥‘(⊥‘((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵)))))
21 sshjval 28076 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (𝐴 𝐵) = (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐵))))
221, 4, 21mp2an 707 . . 3 (𝐴 𝐵) = (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐵)))
2312, 16chjvali 28079 . . 3 ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ (⊥‘(⊥‘𝐵))) = (⊥‘(⊥‘((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵)))))
2420, 22, 233sstr4i 3628 . 2 (𝐴 𝐵) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
25 ssun1 3759 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
26 ococss 28019 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵) ⊆ ℋ → (𝐴𝐵) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐵))))
279, 26ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐴𝐵) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐵)))
2825, 27sstri 3596 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐵)))
2928, 22sseqtr4i 3622 . . . . 5 𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵)
30 sshjcl 28081 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (𝐴 𝐵) ∈ C )
311, 4, 30mp2an 707 . . . . . . 7 (𝐴 𝐵) ∈ C
3231chssii 27955 . . . . . 6 (𝐴 𝐵) ⊆ ℋ
331, 32occon2i 28015 . . . . 5 (𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵) → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 𝐵))))
3429, 33ax-mp 5 . . . 4 (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 𝐵)))
35 ssun2 3760 . . . . . . 7 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
3635, 27sstri 3596 . . . . . 6 𝐵 ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐵)))
3736, 22sseqtr4i 3622 . . . . 5 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵)
384, 32occon2i 28015 . . . . 5 (𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵) → (⊥‘(⊥‘𝐵)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 𝐵))))
3937, 38ax-mp 5 . . . 4 (⊥‘(⊥‘𝐵)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 𝐵)))
4031choccli 28033 . . . . . 6 (⊥‘(𝐴 𝐵)) ∈ C
4140choccli 28033 . . . . 5 (⊥‘(⊥‘(𝐴 𝐵))) ∈ C
4212, 16, 41chlubii 28198 . . . 4 (((⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 𝐵))) ∧ (⊥‘(⊥‘𝐵)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 𝐵)))) → ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ (⊥‘(⊥‘𝐵))) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 𝐵))))
4334, 39, 42mp2an 707 . . 3 ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ (⊥‘(⊥‘𝐵))) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 𝐵)))
4431ococi 28131 . . 3 (⊥‘(⊥‘(𝐴 𝐵))) = (𝐴 𝐵)
4543, 44sseqtri 3621 . 2 ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ (⊥‘(⊥‘𝐵))) ⊆ (𝐴 𝐵)
4624, 45eqssi 3603 1 (𝐴 𝐵) = ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  wcel 1987  cun 3557  wss 3559  cfv 5852  (class class class)co 6610  chil 27643   C cch 27653  cort 27654   chj 27657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cc 9208  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965  ax-addf 9966  ax-mulf 9967  ax-hilex 27723  ax-hfvadd 27724  ax-hvcom 27725  ax-hvass 27726  ax-hv0cl 27727  ax-hvaddid 27728  ax-hfvmul 27729  ax-hvmulid 27730  ax-hvmulass 27731  ax-hvdistr1 27732  ax-hvdistr2 27733  ax-hvmul0 27734  ax-hfi 27803  ax-his1 27806  ax-his2 27807  ax-his3 27808  ax-his4 27809  ax-hcompl 27926
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-omul 7517  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7860  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-fsupp 8227  df-fi 8268  df-sup 8299  df-inf 8300  df-oi 8366  df-card 8716  df-acn 8719  df-cda 8941  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-q 11740  df-rp 11784  df-xneg 11897  df-xadd 11898  df-xmul 11899  df-ioo 12128  df-ico 12130  df-icc 12131  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-fl 12540  df-seq 12749  df-exp 12808  df-hash 13065  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-clim 14160  df-rlim 14161  df-sum 14358  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-starv 15884  df-sca 15885  df-vsca 15886  df-ip 15887  df-tset 15888  df-ple 15889  df-ds 15892  df-unif 15893  df-hom 15894  df-cco 15895  df-rest 16011  df-topn 16012  df-0g 16030  df-gsum 16031  df-topgen 16032  df-pt 16033  df-prds 16036  df-xrs 16090  df-qtop 16095  df-imas 16096  df-xps 16098  df-mre 16174  df-mrc 16175  df-acs 16177  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-submnd 17264  df-mulg 17469  df-cntz 17678  df-cmn 18123  df-psmet 19666  df-xmet 19667  df-met 19668  df-bl 19669  df-mopn 19670  df-fbas 19671  df-fg 19672  df-cnfld 19675  df-top 20627  df-topon 20644  df-topsp 20657  df-bases 20670  df-cld 20742  df-ntr 20743  df-cls 20744  df-nei 20821  df-cn 20950  df-cnp 20951  df-lm 20952  df-haus 21038  df-tx 21284  df-hmeo 21477  df-fil 21569  df-fm 21661  df-flim 21662  df-flf 21663  df-xms 22044  df-ms 22045  df-tms 22046  df-cfil 22972  df-cau 22973  df-cmet 22974  df-grpo 27214  df-gid 27215  df-ginv 27216  df-gdiv 27217  df-ablo 27266  df-vc 27281  df-nv 27314  df-va 27317  df-ba 27318  df-sm 27319  df-0v 27320  df-vs 27321  df-nmcv 27322  df-ims 27323  df-dip 27423  df-ssp 27444  df-ph 27535  df-cbn 27586  df-hnorm 27692  df-hba 27693  df-hvsub 27695  df-hlim 27696  df-hcau 27697  df-sh 27931  df-ch 27945  df-oc 27976  df-ch0 27977  df-shs 28034  df-chj 28036
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator