MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssin 3796
Description: Subclass of intersection. Theorem 2.8(vii) of [Monk1] p. 26. (Contributed by NM, 15-Jun-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
ssin ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐵𝐶))

Proof of Theorem ssin
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3757 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐵𝐶) ↔ (𝑥𝐵𝑥𝐶))
21imbi2i 324 . . . 4 ((𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵𝐶)) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑥𝐵𝑥𝐶)))
32albii 1736 . . 3 (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵𝐶)) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴 → (𝑥𝐵𝑥𝐶)))
4 jcab 902 . . . 4 ((𝑥𝐴 → (𝑥𝐵𝑥𝐶)) ↔ ((𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝐶)))
54albii 1736 . . 3 (∀𝑥(𝑥𝐴 → (𝑥𝐵𝑥𝐶)) ↔ ∀𝑥((𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝐶)))
6 19.26 1785 . . 3 (∀𝑥((𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝐶)) ↔ (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐶)))
73, 5, 63bitrri 285 . 2 ((∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐶)) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵𝐶)))
8 dfss2 3556 . . 3 (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵))
9 dfss2 3556 . . 3 (𝐴𝐶 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐶))
108, 9anbi12i 728 . 2 ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ↔ (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐶)))
11 dfss2 3556 . 2 (𝐴 ⊆ (𝐵𝐶) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵𝐶)))
127, 10, 113bitr4i 290 1 ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐵𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  wal 1472  wcel 1976  cin 3538  wss 3539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-v 3174  df-in 3546  df-ss 3553
This theorem is referenced by:  ssini  3797  ssind  3798  uneqin  3836  disjpss  3979  trin  4685  pwin  4932  fin  5983  wfrlem4  7282  epfrs  8467  tcmin  8477  resscntz  17533  subgdmdprd  18202  tgval  20512  eltg3i  20518  innei  20681  cnprest2  20846  subislly  21036  lly1stc  21051  xkohaus  21208  xkoinjcn  21242  opnfbas  21398  supfil  21451  rnelfm  21509  tsmsres  21699  restmetu  22126  chabs2  27566  cmbr4i  27650  pjin3i  28243  mdbr2  28345  dmdbr2  28352  dmdbr5  28357  mdslle1i  28366  mdslle2i  28367  mdslj1i  28368  mdslj2i  28369  mdsl2i  28371  mdslmd1lem1  28374  mdslmd1lem2  28375  mdslmd1i  28378  mdslmd3i  28381  hatomistici  28411  chrelat2i  28414  cvexchlem  28417  mdsymlem1  28452  mdsymlem3  28454  mdsymlem6  28457  dmdbr5ati  28471  pnfneige0  29131  ballotlem2  29683  iccllyscon  30292  frrlem4  30833  heibor1lem  32574  dochexmidlem1  35563  superficl  36687  k0004lem1  37261
  Copyright terms: Public domain W3C validator