Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssinc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssinc 38786
Description: Inclusion relation for a monotonic sequence of sets. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ssinc.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
ssinc.2 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
Assertion
Ref Expression
ssinc (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑁))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐹   𝑚,𝑀   𝑚,𝑁   𝜑,𝑚

Proof of Theorem ssinc
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssinc.1 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzel2 11652 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 eluzelz 11657 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
51, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
63, 5jca 554 . . 3 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
7 eluzle 11660 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
81, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀𝑁)
95zred 11442 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
109leidd 10554 . . . 4 (𝜑𝑁𝑁)
115, 8, 103jca 1240 . . 3 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁𝑁𝑁))
126, 11jca 554 . 2 (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁𝑁𝑁)))
13 id 22 . 2 (𝜑𝜑)
14 fveq2 6158 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑀))
1514sseq2d 3618 . . . 4 (𝑛 = 𝑀 → ((𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑛) ↔ (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑀)))
1615imbi2d 330 . . 3 (𝑛 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑛)) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑀))))
17 fveq2 6158 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑚))
1817sseq2d 3618 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑛) ↔ (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑚)))
1918imbi2d 330 . . 3 (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑛)) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑚))))
20 fveq2 6158 . . . . 5 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝐹𝑛) = (𝐹‘(𝑚 + 1)))
2120sseq2d 3618 . . . 4 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑛) ↔ (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1))))
2221imbi2d 330 . . 3 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑛)) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))))
23 fveq2 6158 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑁))
2423sseq2d 3618 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → ((𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑛) ↔ (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑁)))
2524imbi2d 330 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑛)) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑁))))
26 ssid 3609 . . . . 5 (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑀)
2726a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑀))
2827a1i 11 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑀)))
29 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑚)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
30 simpl 473 . . . . . . 7 (((𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑚)))
31 pm3.35 610 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑚))) → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑚))
3229, 30, 31syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑚))
33323adant1 1077 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑚))
34 simpr 477 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
35 simplll 797 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑀 ∈ ℤ)
36 simplr1 1101 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ ℤ)
37 simplr2 1102 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑀𝑚)
3835, 36, 373jca 1240 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚))
39 eluz2 11653 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚))
4038, 39sylibr 224 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
41 simpllr 798 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑁 ∈ ℤ)
42 simplr3 1103 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 < 𝑁)
4340, 41, 423jca 1240 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 < 𝑁))
44 elfzo2 12430 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 < 𝑁))
4543, 44sylibr 224 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))
46 ssinc.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
4734, 45, 46syl2anc 692 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
48473adant2 1078 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
4933, 48sstrd 3598 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
50493exp 1261 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) → ((𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑚)) → (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))))
5116, 19, 22, 25, 28, 50fzind 11435 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁𝑁𝑁)) → (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑁)))
5212, 13, 51sylc 65 1 (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3560   class class class wbr 4623  cfv 5857  (class class class)co 6615  1c1 9897   + caddc 9899   < clt 10034  cle 10035  cz 11337  cuz 11647  ..^cfzo 12422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-fzo 12423
This theorem is referenced by:  iunincfi  38794
  Copyright terms: Public domain W3C validator