Theorem ssn0 4357

Description: A class with a nonempty subclass is nonempty. (Contributed by NM, 17-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ssn0	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem ssn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq0 4356	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐴 = ∅)
2	1	ex 415	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅))
3	2	necon3d 3040	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ≠ ∅ → 𝐵 ≠ ∅))
4	3	imp 409	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ≠ wne 3019   ⊆ wss 3939  ∅c0 4294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-ne 3020  df-dif 3942  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295

This theorem is referenced by:  unixp0  6137  frxp  7823  onfununi  7981  carddomi2  9402  fin23lem21  9764  wunex2  10163  vdwmc2  16318  gsumval2  17899  subgint  18306  subrgint  19560  hausnei2  21964  fbun  22451  fbfinnfr  22452  filuni  22496  isufil2  22519  ufileu  22530  filufint  22531  fmfnfm  22569  hausflim  22592  flimclslem  22595  fclsneii  22628  fclsbas  22632  fclsrest  22635  fclscf  22636  fclsfnflim  22638  flimfnfcls  22639  fclscmp  22641  ufilcmp  22643  isfcf  22645  fcfnei  22646  clssubg  22720  ustfilxp  22824  metustfbas  23170  restmetu  23183  reperflem  23429  metdseq0  23465  relcmpcmet  23924  bcthlem5  23934  minveclem4a  24036  dvlip  24593  wlkvtxiedg  27409  imadifxp  30354  bnj970  32223  frmin  33088  neibastop1  33711  neibastop2  33713  heibor1lem  35091  isnumbasabl  39712  dfacbasgrp  39714  ioossioobi  41799  islptre  41906  stoweidlem35  42327  stoweidlem39  42331  fourierdlem46  42444  nzerooringczr  44350