Theorem ssnei 20672

Description: A set is included in its neighborhoods. Proposition Viii of [BourbakiTop1] p. I.3 . (Contributed by FL, 16-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ssnei	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝑁)

Proof of Theorem ssnei

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neii2 20670	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))
2		sstr 3575	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁) → 𝑆 ⊆ 𝑁)
3	2	rexlimivw 3010	. 2 ⊢ (∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁) → 𝑆 ⊆ 𝑁)
4	1, 3	syl 17	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∈ wcel 1976  ∃wrex 2896   ⊆ wss 3539  ‘cfv 5790  Topctop 20465  neicnei 20659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-top 20469  df-nei 20660

This theorem is referenced by:  elnei  20673  0nnei  20674  opnneissb  20676  opnssneib  20677  tpnei  20683  cvmlift2lem1  30372