Theorem ssnmz 18320

Description: A subgroup is a subset of its normalizer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elnmz.1	⊢ 𝑁 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆)}
nmzsubg.2	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmzsubg.3	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ssnmz	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ssnmz

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmzsubg.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 18282	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
3	2	sselda 3969	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑋)
4		simpll 765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		subgrcl 18286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
7	4, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
8		simplrl 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑆)
9	7, 8	sseldd 3970	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑋)
10		nmzsubg.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ + = (+g‘𝐺)
11		eqid 2823	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
12		eqid 2823	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
13	1, 10, 11, 12	grplinv 18154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (((invg‘𝐺)‘𝑧) + 𝑧) = (0g‘𝐺))
14	6, 9, 13	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → (((invg‘𝐺)‘𝑧) + 𝑧) = (0g‘𝐺))
15	14	oveq1d 7173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → ((((invg‘𝐺)‘𝑧) + 𝑧) + 𝑤) = ((0g‘𝐺) + 𝑤))
16	12	subginvcl 18290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆)
17	4, 8, 16	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆)
18	7, 17	sseldd 3970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋)
19		simplrr 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → 𝑤 ∈ 𝑋)
20	1, 10	grpass 18114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑧) + 𝑧) + 𝑤) = (((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑧 + 𝑤)))
21	6, 18, 9, 19, 20	syl13anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → ((((invg‘𝐺)‘𝑧) + 𝑧) + 𝑤) = (((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑧 + 𝑤)))
22	1, 10, 11	grplid 18135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((0g‘𝐺) + 𝑤) = 𝑤)
23	6, 19, 22	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → ((0g‘𝐺) + 𝑤) = 𝑤)
24	15, 21, 23	3eqtr3d 2866	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → (((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑧 + 𝑤)) = 𝑤)
25		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆)
26	10	subgcl 18291	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → (((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑧 + 𝑤)) ∈ 𝑆)
27	4, 17, 25, 26	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → (((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑧 + 𝑤)) ∈ 𝑆)
28	24, 27	eqeltrrd 2916	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → 𝑤 ∈ 𝑆)
29	10	subgcl 18291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆)
30	4, 28, 8, 29	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆)
31		simpll 765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
32		simplrl 775	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑆)
33	31, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
34		simplrr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → 𝑤 ∈ 𝑋)
35	31, 32, 3	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑋)
36		eqid 2823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
37	1, 10, 36	grppncan 18192	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑤 + 𝑧)(-g‘𝐺)𝑧) = 𝑤)
38	33, 34, 35, 37	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → ((𝑤 + 𝑧)(-g‘𝐺)𝑧) = 𝑤)
39		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆)
40	36	subgsubcl 18292	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑤 + 𝑧)(-g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
41	31, 39, 32, 40	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → ((𝑤 + 𝑧)(-g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
42	38, 41	eqeltrrd 2916	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → 𝑤 ∈ 𝑆)
43	10	subgcl 18291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆)
44	31, 32, 42, 43	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆)
45	30, 44	impbida 799	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆))
46	45	anassrs 470	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆))
47	46	ralrimiva 3184	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆))
48		elnmz.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆)}
49	48	elnmz 18317	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑁 ↔ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆)))
50	3, 47, 49	sylanbrc 585	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑁)
51	50	ex 415	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑧 ∈ 𝑆 → 𝑧 ∈ 𝑁))
52	51	ssrdv 3975	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  {crab 3144   ⊆ wss 3938  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Basecbs 16485  +_gcplusg 16567  0_gc0g 16715  Grpcgrp 18105  inv_gcminusg 18106  -_gcsg 18107  SubGrpcsubg 18275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-subg 18278

This theorem is referenced by:  nmznsg  18322  sylow3lem6  18759