Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssnmz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssnmz 17560
 Description: A subgroup is a subset of its normalizer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elnmz.1 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆)}
nmzsubg.2 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmzsubg.3 + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
ssnmz (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆𝑁)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ssnmz
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmzsubg.2 . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
21subgss 17519 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆𝑋)
32sselda 3584 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧𝑋)
4 simpll 789 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5 subgrcl 17523 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
74, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → 𝑆𝑋)
8 simplrl 799 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → 𝑧𝑆)
97, 8sseldd 3585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → 𝑧𝑋)
10 nmzsubg.3 . . . . . . . . . . . . 13 + = (+g𝐺)
11 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 (0g𝐺) = (0g𝐺)
12 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 (invg𝐺) = (invg𝐺)
131, 10, 11, 12grplinv 17392 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → (((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑧) = (0g𝐺))
146, 9, 13syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → (((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑧) = (0g𝐺))
1514oveq1d 6622 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → ((((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑧) + 𝑤) = ((0g𝐺) + 𝑤))
1612subginvcl 17527 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧𝑆) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆)
174, 8, 16syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆)
187, 17sseldd 3585 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋)
19 simplrr 800 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → 𝑤𝑋)
201, 10grpass 17355 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋𝑧𝑋𝑤𝑋)) → ((((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑧) + 𝑤) = (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑧 + 𝑤)))
216, 18, 9, 19, 20syl13anc 1325 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → ((((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑧) + 𝑤) = (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑧 + 𝑤)))
221, 10, 11grplid 17376 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑤𝑋) → ((0g𝐺) + 𝑤) = 𝑤)
236, 19, 22syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → ((0g𝐺) + 𝑤) = 𝑤)
2415, 21, 233eqtr3d 2663 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑧 + 𝑤)) = 𝑤)
25 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆)
2610subgcl 17528 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑧 + 𝑤)) ∈ 𝑆)
274, 17, 25, 26syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑧 + 𝑤)) ∈ 𝑆)
2824, 27eqeltrrd 2699 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → 𝑤𝑆)
2910subgcl 17528 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑤𝑆𝑧𝑆) → (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆)
304, 28, 8, 29syl3anc 1323 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆)
31 simpll 789 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
32 simplrl 799 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → 𝑧𝑆)
3331, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
34 simplrr 800 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → 𝑤𝑋)
3531, 32, 3syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → 𝑧𝑋)
36 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (-g𝐺) = (-g𝐺)
371, 10, 36grppncan 17430 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑤𝑋𝑧𝑋) → ((𝑤 + 𝑧)(-g𝐺)𝑧) = 𝑤)
3833, 34, 35, 37syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → ((𝑤 + 𝑧)(-g𝐺)𝑧) = 𝑤)
39 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆)
4036subgsubcl 17529 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆𝑧𝑆) → ((𝑤 + 𝑧)(-g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
4131, 39, 32, 40syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → ((𝑤 + 𝑧)(-g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
4238, 41eqeltrrd 2699 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → 𝑤𝑆)
4310subgcl 17528 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧𝑆𝑤𝑆) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆)
4431, 32, 42, 43syl3anc 1323 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆)
4530, 44impbida 876 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) → ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆))
4645anassrs 679 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑤𝑋) → ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆))
4746ralrimiva 2960 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧𝑆) → ∀𝑤𝑋 ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆))
48 elnmz.1 . . . . 5 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆)}
4948elnmz 17557 . . . 4 (𝑧𝑁 ↔ (𝑧𝑋 ∧ ∀𝑤𝑋 ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆)))
503, 47, 49sylanbrc 697 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧𝑁)
5150ex 450 . 2 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑧𝑆𝑧𝑁))
5251ssrdv 3590 1 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆𝑁)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  {crab 2911   ⊆ wss 3556  ‘cfv 5849  (class class class)co 6607  Basecbs 15784  +gcplusg 15865  0gc0g 16024  Grpcgrp 17346  invgcminusg 17347  -gcsg 17348  SubGrpcsubg 17512 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-2 11026  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-0g 16026  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-grp 17349  df-minusg 17350  df-sbg 17351  df-subg 17515 This theorem is referenced by:  nmznsg  17562  sylow3lem6  17971
 Copyright terms: Public domain W3C validator