Theorem ssnn0ssfz 44390

Description: For any finite subset of ℕ₀, find a superset in the form of a set of sequential integers, analogous to ssnnssfz 30504. (Contributed by AV, 30-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ssnn0ssfz	⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ⊆ (0...𝑛))

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem ssnn0ssfz

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 11906	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
3		0ss 4350	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ (0...0)
4	2, 3	eqsstrdi 4021	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ (0...0))
5		oveq2 7158	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → (0...𝑛) = (0...0))
6	5	sseq2d 3999	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝐴 ⊆ (0...𝑛) ↔ 𝐴 ⊆ (0...0)))
7	6	rspcev 3623	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ⊆ (0...0)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ⊆ (0...𝑛))
8	1, 4, 7	sylancr 589	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ⊆ (0...𝑛))
9		elin 4169	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ Fin))
10	9	simplbi 500	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝐴 ∈ 𝒫 ℕ0)
11	10	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ 𝒫 ℕ0)
12	11	elpwid 4553	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
13		nn0ssre 11895	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
14		ltso 10715	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ
15		soss 5488	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℕ0))
16	13, 14, 15	mp2 9	. . . . . 6 ⊢ < Or ℕ0
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → < Or ℕ0)
18	9	simprbi 499	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
19	18	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
20		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
21		fisupcl 8927	. . . . 5 ⊢ (( < Or ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℕ0)) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ 𝐴)
22	17, 19, 20, 12, 21	syl13anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ 𝐴)
23	12, 22	sseldd 3968	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ ℕ0)
24	12	sselda 3967	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ0)
25		nn0uz 12274	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
26	24, 25	eleqtrdi 2923	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘0))
27	24	nn0zd 12079	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℤ)
28	12	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
29	22	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ 𝐴)
30	28, 29	sseldd 3968	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ ℕ0)
31	30	nn0zd 12079	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ ℤ)
32		fisup2g 8926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( < Or ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℕ0)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
33	17, 19, 20, 12, 32	syl13anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
34		ssrexv 4034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ0 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
35	12, 33, 34	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
36	17, 35	supub 8917	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ sup(𝐴, ℕ0, < ) < 𝑥))
37	36	imp 409	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ sup(𝐴, ℕ0, < ) < 𝑥)
38	24	nn0red 11950	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
39	30	nn0red 11950	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ ℝ)
40	38, 39	lenltd 10780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ sup(𝐴, ℕ0, < ) ↔ ¬ sup(𝐴, ℕ0, < ) < 𝑥))
41	37, 40	mpbird 259	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℕ0, < ))
42		eluz2 12243	. . . . . . 7 ⊢ (sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℕ0, < )))
43	27, 31, 41, 42	syl3anbrc 1339	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑥))
44		eluzfz 12897	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑥)) → 𝑥 ∈ (0...sup(𝐴, ℕ0, < )))
45	26, 43, 44	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (0...sup(𝐴, ℕ0, < )))
46	45	ex 415	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (0...sup(𝐴, ℕ0, < ))))
47	46	ssrdv 3973	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (0...sup(𝐴, ℕ0, < )))
48		oveq2 7158	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = sup(𝐴, ℕ0, < ) → (0...𝑛) = (0...sup(𝐴, ℕ0, < )))
49	48	sseq2d 3999	. . . 4 ⊢ (𝑛 = sup(𝐴, ℕ0, < ) → (𝐴 ⊆ (0...𝑛) ↔ 𝐴 ⊆ (0...sup(𝐴, ℕ0, < ))))
50	49	rspcev 3623	. . 3 ⊢ ((sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ⊆ (0...sup(𝐴, ℕ0, < ))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ⊆ (0...𝑛))
51	23, 47, 50	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ⊆ (0...𝑛))
52	8, 51	pm2.61dane 3104	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ⊆ (0...𝑛))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  𝒫 cpw 4539   class class class wbr 5059   Or wor 5468  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  Fincfn 8503  supcsup 8898  ℝcr 10530  0cc0 10531   < clt 10669   ≤ cle 10670  ℕ₀cn0 11891  ℤcz 11975  ℤ_≥cuz 12237  ...cfz 12886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887

This theorem is referenced by: (None)