Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssnnf1octb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssnnf1octb 41332
Description: There exists a bijection between a subset of and a given nonempty countable set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
ssnnf1octb ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴))
Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Proof of Theorem ssnnf1octb
Dummy variables 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnfoctb 41186 . 2 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑔 𝑔:ℕ–onto𝐴)
2 fofn 6585 . . . . . 6 (𝑔:ℕ–onto𝐴𝑔 Fn ℕ)
3 nnex 11632 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
43a1i 11 . . . . . 6 (𝑔:ℕ–onto𝐴 → ℕ ∈ V)
5 ltwenn 13318 . . . . . . 7 < We ℕ
65a1i 11 . . . . . 6 (𝑔:ℕ–onto𝐴 → < We ℕ)
72, 4, 6wessf1orn 41322 . . . . 5 (𝑔:ℕ–onto𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝒫 ℕ(𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔)
8 f1odm 6612 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔 → dom (𝑔𝑥) = 𝑥)
98adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → dom (𝑔𝑥) = 𝑥)
10 elpwi 4547 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ → 𝑥 ⊆ ℕ)
1110adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → 𝑥 ⊆ ℕ)
129, 11eqsstrd 4002 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → dom (𝑔𝑥) ⊆ ℕ)
13123adant1 1122 . . . . . . . 8 ((𝑔:ℕ–onto𝐴𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → dom (𝑔𝑥) ⊆ ℕ)
14 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑔:ℕ–onto𝐴 ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔)
15 eqidd 2819 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔:ℕ–onto𝐴 ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑥))
168eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔𝑥 = dom (𝑔𝑥))
1716adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔:ℕ–onto𝐴 ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → 𝑥 = dom (𝑔𝑥))
18 forn 6586 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔:ℕ–onto𝐴 → ran 𝑔 = 𝐴)
1918adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔:ℕ–onto𝐴 ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → ran 𝑔 = 𝐴)
2015, 17, 19f1oeq123d 6603 . . . . . . . . . 10 ((𝑔:ℕ–onto𝐴 ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → ((𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔 ↔ (𝑔𝑥):dom (𝑔𝑥)–1-1-onto𝐴))
2114, 20mpbid 233 . . . . . . . . 9 ((𝑔:ℕ–onto𝐴 ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔𝑥):dom (𝑔𝑥)–1-1-onto𝐴)
22213adant2 1123 . . . . . . . 8 ((𝑔:ℕ–onto𝐴𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔𝑥):dom (𝑔𝑥)–1-1-onto𝐴)
23 vex 3495 . . . . . . . . . 10 𝑔 ∈ V
2423resex 5892 . . . . . . . . 9 (𝑔𝑥) ∈ V
25 dmeq 5765 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑔𝑥) → dom 𝑓 = dom (𝑔𝑥))
2625sseq1d 3995 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑔𝑥) → (dom 𝑓 ⊆ ℕ ↔ dom (𝑔𝑥) ⊆ ℕ))
27 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑔𝑥) → 𝑓 = (𝑔𝑥))
28 eqidd 2819 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑔𝑥) → 𝐴 = 𝐴)
2927, 25, 28f1oeq123d 6603 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑔𝑥) → (𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴 ↔ (𝑔𝑥):dom (𝑔𝑥)–1-1-onto𝐴))
3026, 29anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑔𝑥) → ((dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴) ↔ (dom (𝑔𝑥) ⊆ ℕ ∧ (𝑔𝑥):dom (𝑔𝑥)–1-1-onto𝐴)))
3124, 30spcev 3604 . . . . . . . 8 ((dom (𝑔𝑥) ⊆ ℕ ∧ (𝑔𝑥):dom (𝑔𝑥)–1-1-onto𝐴) → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴))
3213, 22, 31syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑔:ℕ–onto𝐴𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴))
33323exp 1111 . . . . . 6 (𝑔:ℕ–onto𝐴 → (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ → ((𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔 → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴))))
3433rexlimdv 3280 . . . . 5 (𝑔:ℕ–onto𝐴 → (∃𝑥 ∈ 𝒫 ℕ(𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔 → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴)))
357, 34mpd 15 . . . 4 (𝑔:ℕ–onto𝐴 → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴))
3635a1i 11 . . 3 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑔:ℕ–onto𝐴 → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴)))
3736exlimdv 1925 . 2 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑔 𝑔:ℕ–onto𝐴 → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴)))
381, 37mpd 15 1 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136  Vcvv 3492  wss 3933  c0 4288  𝒫 cpw 4535   class class class wbr 5057   We wwe 5506  dom cdm 5548  ran crn 5549  cres 5550  ontowfo 6346  1-1-ontowf1o 6347  ωcom 7569  cdom 8495   < clt 10663  cn 11626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232
This theorem is referenced by:  isomennd  42690
  Copyright terms: Public domain W3C validator