MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssntr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssntr 20772
Description: An open subset of a set is a subset of the set's interior. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
ssntr (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑂𝐽𝑂𝑆)) → 𝑂 ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑆))

Proof of Theorem ssntr
StepHypRef Expression
1 elin 3774 . . . . 5 (𝑂 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ (𝑂𝐽𝑂 ∈ 𝒫 𝑆))
2 elpwg 4138 . . . . . 6 (𝑂𝐽 → (𝑂 ∈ 𝒫 𝑆𝑂𝑆))
32pm5.32i 668 . . . . 5 ((𝑂𝐽𝑂 ∈ 𝒫 𝑆) ↔ (𝑂𝐽𝑂𝑆))
41, 3bitr2i 265 . . . 4 ((𝑂𝐽𝑂𝑆) ↔ 𝑂 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
5 elssuni 4433 . . . 4 (𝑂 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) → 𝑂 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
64, 5sylbi 207 . . 3 ((𝑂𝐽𝑂𝑆) → 𝑂 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
76adantl 482 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑂𝐽𝑂𝑆)) → 𝑂 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
8 clscld.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
98ntrval 20750 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
109adantr 481 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑂𝐽𝑂𝑆)) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
117, 10sseqtr4d 3621 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑂𝐽𝑂𝑆)) → 𝑂 ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cin 3554  wss 3555  𝒫 cpw 4130   cuni 4402  cfv 5847  Topctop 20617  intcnt 20731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-top 20621  df-ntr 20734
This theorem is referenced by:  ntrin  20775  neiint  20818  restntr  20896  cnntri  20985  xkococnlem  21372  iccntr  22532  bcthlem5  23033  ftc1  23709  lgamucov  24664  cvmlift2lem12  31001  cvmlift3lem7  31012  opnregcld  31964  ftc1cnnc  33113
  Copyright terms: Public domain W3C validator