Theorem ssoninhaus 33791

Description: The ordinal topologies 1_o and 2_o are Hausdorff. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssoninhaus	⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Proof of Theorem ssoninhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8103	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		2on 8105	. . 3 ⊢ 2o ∈ On
3		prssi 4747	. . 3 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 2o ∈ On) → {1o, 2o} ⊆ On)
4	1, 2, 3	mp2an 690	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ On
5		df1o2 8110	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
6		pw0 4738	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
7	5, 6	eqtr4i 2847	. . . 4 ⊢ 1o = 𝒫 ∅
8		0ex 5203	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
9		dishaus 21984	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ V → 𝒫 ∅ ∈ Haus)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ Haus
11	7, 10	eqeltri 2909	. . 3 ⊢ 1o ∈ Haus
12		df2o2 8112	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
13		pwpw0 4739	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
14	12, 13	eqtr4i 2847	. . . 4 ⊢ 2o = 𝒫 {∅}
15		p0ex 5276	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
16		dishaus 21984	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∈ V → 𝒫 {∅} ∈ Haus)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 {∅} ∈ Haus
18	14, 17	eqeltri 2909	. . 3 ⊢ 2o ∈ Haus
19		prssi 4747	. . 3 ⊢ ((1o ∈ Haus ∧ 2o ∈ Haus) → {1o, 2o} ⊆ Haus)
20	11, 18, 19	mp2an 690	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ Haus
21	4, 20	ssini 4207	1 ⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Syntax hints:   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494   ∩ cin 3934   ⊆ wss 3935  ∅c0 4290  𝒫 cpw 4538  {csn 4560  {cpr 4562  Oncon0 6185  1_oc1o 8089  2_oc2o 8090  Hauscha 21910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-tr 5165  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-ord 6188  df-on 6189  df-suc 6191  df-1o 8096  df-2o 8097  df-top 21496  df-haus 21917

This theorem is referenced by:  onint1  33792  oninhaus  33793