Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssoninhaus Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssoninhaus 32431
Description: The ordinal topologies 1𝑜 and 2𝑜 are Hausdorff. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssoninhaus {1𝑜, 2𝑜} ⊆ (On ∩ Haus)

Proof of Theorem ssoninhaus
StepHypRef Expression
1 1on 7564 . . 3 1𝑜 ∈ On
2 2on 7565 . . 3 2𝑜 ∈ On
3 prssi 4351 . . 3 ((1𝑜 ∈ On ∧ 2𝑜 ∈ On) → {1𝑜, 2𝑜} ⊆ On)
41, 2, 3mp2an 708 . 2 {1𝑜, 2𝑜} ⊆ On
5 df1o2 7569 . . . . 5 1𝑜 = {∅}
6 pw0 4341 . . . . 5 𝒫 ∅ = {∅}
75, 6eqtr4i 2646 . . . 4 1𝑜 = 𝒫 ∅
8 0ex 4788 . . . . 5 ∅ ∈ V
9 dishaus 21180 . . . . 5 (∅ ∈ V → 𝒫 ∅ ∈ Haus)
108, 9ax-mp 5 . . . 4 𝒫 ∅ ∈ Haus
117, 10eqeltri 2696 . . 3 1𝑜 ∈ Haus
12 df2o2 7571 . . . . 5 2𝑜 = {∅, {∅}}
13 pwpw0 4342 . . . . 5 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
1412, 13eqtr4i 2646 . . . 4 2𝑜 = 𝒫 {∅}
15 p0ex 4851 . . . . 5 {∅} ∈ V
16 dishaus 21180 . . . . 5 ({∅} ∈ V → 𝒫 {∅} ∈ Haus)
1715, 16ax-mp 5 . . . 4 𝒫 {∅} ∈ Haus
1814, 17eqeltri 2696 . . 3 2𝑜 ∈ Haus
19 prssi 4351 . . 3 ((1𝑜 ∈ Haus ∧ 2𝑜 ∈ Haus) → {1𝑜, 2𝑜} ⊆ Haus)
2011, 18, 19mp2an 708 . 2 {1𝑜, 2𝑜} ⊆ Haus
214, 20ssini 3834 1 {1𝑜, 2𝑜} ⊆ (On ∩ Haus)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1989  Vcvv 3198  cin 3571  wss 3572  c0 3913  𝒫 cpw 4156  {csn 4175  {cpr 4177  Oncon0 5721  1𝑜c1o 7550  2𝑜c2o 7551  Hauscha 21106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-br 4652  df-opab 4711  df-tr 4751  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-ord 5724  df-on 5725  df-suc 5727  df-1o 7557  df-2o 7558  df-top 20693  df-haus 21113
This theorem is referenced by:  onint1  32432  oninhaus  32433
  Copyright terms: Public domain W3C validator