Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sspadd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sspadd2 33918
Description: A projective subspace sum is a superset of its second summand. (ssun2 3733 analog.) (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
sspadd2 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem sspadd2
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssun2 3733 . . 3 𝑋 ⊆ (𝑌𝑋)
2 ssun1 3732 . . 3 (𝑌𝑋) ⊆ ((𝑌𝑋) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑌𝑟𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)})
31, 2sstri 3571 . 2 𝑋 ⊆ ((𝑌𝑋) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑌𝑟𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)})
4 eqid 2604 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
5 eqid 2604 . . . 4 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
6 padd0.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 padd0.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
84, 5, 6, 7paddval 33900 . . 3 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑋𝐴) → (𝑌 + 𝑋) = ((𝑌𝑋) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑌𝑟𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}))
983com23 1262 . 2 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑌 + 𝑋) = ((𝑌𝑋) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑌𝑟𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}))
103, 9syl5sseqr 3611 1 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑌 + 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wrex 2891  {crab 2894  cun 3532  wss 3534   class class class wbr 4572  cfv 5785  (class class class)co 6522  lecple 15716  joincjn 16708  Atomscatm 33366  +𝑃cpadd 33897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-op 4126  df-uni 4362  df-iun 4446  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-id 4938  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-padd 33898
This theorem is referenced by:  paddasslem11  33932  paddasslem12  33933  paddssw2  33946  pmodlem2  33949  pmodl42N  33953  osumcllem10N  34067  pexmidlem7N  34078  pl42lem3N  34083
  Copyright terms: Public domain W3C validator