Theorem sspadd2 36954

Description: A projective subspace sum is a superset of its second summand. (ssun2 4151 analog.) (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
sspadd2	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem sspadd2

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2 4151	. . 3 ⊢ 𝑋 ⊆ (𝑌 ∪ 𝑋)
2		ssun1 4150	. . 3 ⊢ (𝑌 ∪ 𝑋) ⊆ ((𝑌 ∪ 𝑋) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)})
3	1, 2	sstri 3978	. 2 ⊢ 𝑋 ⊆ ((𝑌 ∪ 𝑋) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)})
4		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
5		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
6		padd0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		padd0.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
8	4, 5, 6, 7	paddval 36936	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑌 + 𝑋) = ((𝑌 ∪ 𝑋) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}))
9	8	3com23 1122	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑌 + 𝑋) = ((𝑌 ∪ 𝑋) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}))
10	3, 9	sseqtrrid 4022	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑌 + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3141  {crab 3144   ∪ cun 3936   ⊆ wss 3938   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  lecple 16574  joincjn 17556  Atomscatm 36401  +_𝑃cpadd 36933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-padd 36934

This theorem is referenced by:  paddasslem11  36968  paddasslem12  36969  paddssw2  36982  pmodlem2  36985  pmodl42N  36989  osumcllem10N  37103  pexmidlem7N  37114  pl42lem3N  37119