MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssphl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssphl 26975
Description: A Banach subspace of an inner product space is a Hilbert space. (Contributed by NM, 11-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ssphl.h 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
ssphl ((𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑊𝐻𝑊 ∈ CBan) → 𝑊 ∈ CHilOLD)

Proof of Theorem ssphl
StepHypRef Expression
1 simp3 1055 . 2 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑊𝐻𝑊 ∈ CBan) → 𝑊 ∈ CBan)
2 ssphl.h . . . 4 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
32sspph 26902 . . 3 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑊𝐻) → 𝑊 ∈ CPreHilOLD)
433adant3 1073 . 2 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑊𝐻𝑊 ∈ CBan) → 𝑊 ∈ CPreHilOLD)
5 ishlo 26945 . 2 (𝑊 ∈ CHilOLD ↔ (𝑊 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ CPreHilOLD))
61, 4, 5sylanbrc 694 1 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑊𝐻𝑊 ∈ CBan) → 𝑊 ∈ CHilOLD)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1938  cfv 5689  SubSpcss 26766  CPreHilOLDccphlo 26859  CBanccbn 26910  CHilOLDchlo 26943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6721  ax-resscn 9746  ax-1cn 9747  ax-icn 9748  ax-addcl 9749  ax-addrcl 9750  ax-mulcl 9751  ax-mulrcl 9752  ax-mulcom 9753  ax-addass 9754  ax-mulass 9755  ax-distr 9756  ax-i2m1 9757  ax-1ne0 9758  ax-1rid 9759  ax-rnegex 9760  ax-rrecex 9761  ax-cnre 9762  ax-pre-lttri 9763  ax-pre-lttrn 9764  ax-pre-ltadd 9765
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-1st 6932  df-2nd 6933  df-er 7503  df-en 7716  df-dom 7717  df-sdom 7718  df-pnf 9829  df-mnf 9830  df-ltxr 9832  df-sub 10017  df-neg 10018  df-grpo 26499  df-gid 26500  df-ginv 26501  df-gdiv 26502  df-ablo 26554  df-vc 26569  df-nv 26617  df-va 26620  df-ba 26621  df-sm 26622  df-0v 26623  df-vs 26624  df-nmcv 26625  df-ssp 26767  df-ph 26860  df-hlo 26944
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator