MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspimsval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sspimsval 27463
Description: The induced metric on a subspace in terms of the induced metric on the parent space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspims.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
sspims.d 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
sspims.c 𝐶 = (IndMet‘𝑊)
sspims.h 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
sspimsval (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴𝐶𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem sspimsval
StepHypRef Expression
1 sspims.h . . . . . 6 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
21sspnv 27451 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
3 sspims.y . . . . . . 7 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
4 eqid 2621 . . . . . . 7 ( −𝑣𝑊) = ( −𝑣𝑊)
53, 4nvmcl 27371 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑌𝐵𝑌) → (𝐴( −𝑣𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
653expb 1263 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴( −𝑣𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
72, 6sylan 488 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴( −𝑣𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
8 eqid 2621 . . . . . 6 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
9 eqid 2621 . . . . . 6 (normCV𝑊) = (normCV𝑊)
103, 8, 9, 1sspnval 27462 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝐴( −𝑣𝑊)𝐵) ∈ 𝑌) → ((normCV𝑊)‘(𝐴( −𝑣𝑊)𝐵)) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( −𝑣𝑊)𝐵)))
11103expa 1262 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴( −𝑣𝑊)𝐵) ∈ 𝑌) → ((normCV𝑊)‘(𝐴( −𝑣𝑊)𝐵)) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( −𝑣𝑊)𝐵)))
127, 11syldan 487 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → ((normCV𝑊)‘(𝐴( −𝑣𝑊)𝐵)) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( −𝑣𝑊)𝐵)))
13 eqid 2621 . . . . 5 ( −𝑣𝑈) = ( −𝑣𝑈)
143, 13, 4, 1sspmval 27458 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴( −𝑣𝑊)𝐵) = (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵))
1514fveq2d 6157 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → ((normCV𝑈)‘(𝐴( −𝑣𝑊)𝐵)) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)))
1612, 15eqtrd 2655 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → ((normCV𝑊)‘(𝐴( −𝑣𝑊)𝐵)) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)))
17 sspims.c . . . . 5 𝐶 = (IndMet‘𝑊)
183, 4, 9, 17imsdval 27411 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑌𝐵𝑌) → (𝐴𝐶𝐵) = ((normCV𝑊)‘(𝐴( −𝑣𝑊)𝐵)))
19183expb 1263 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴𝐶𝐵) = ((normCV𝑊)‘(𝐴( −𝑣𝑊)𝐵)))
202, 19sylan 488 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴𝐶𝐵) = ((normCV𝑊)‘(𝐴( −𝑣𝑊)𝐵)))
21 eqid 2621 . . . . . . 7 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
2221, 3, 1sspba 27452 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝑌 ⊆ (BaseSet‘𝑈))
2322sseld 3586 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → (𝐴𝑌𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
2422sseld 3586 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → (𝐵𝑌𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
2523, 24anim12d 585 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → ((𝐴𝑌𝐵𝑌) → (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))))
2625imp 445 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
27 sspims.d . . . . . 6 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
2821, 13, 8, 27imsdval 27411 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)))
29283expb 1263 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)))
3029adantlr 750 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)))
3126, 30syldan 487 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)))
3216, 20, 313eqtr4d 2665 1 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴𝐶𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5852  (class class class)co 6610  NrmCVeccnv 27309  BaseSetcba 27311  𝑣 cnsb 27314  normCVcnmcv 27315  IndMetcims 27316  SubSpcss 27446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-ltxr 10031  df-sub 10220  df-neg 10221  df-grpo 27217  df-gid 27218  df-ginv 27219  df-gdiv 27220  df-ablo 27269  df-vc 27284  df-nv 27317  df-va 27320  df-ba 27321  df-sm 27322  df-0v 27323  df-vs 27324  df-nmcv 27325  df-ims 27326  df-ssp 27447
This theorem is referenced by:  sspims  27464
  Copyright terms: Public domain W3C validator